Im Zusammenwirken mit CAD zählt heute die FEM zu den leistungsfähigsten Verfahren, die Ingenieurarbeit qualitativ zu optimieren. Insofern sollten die Grundzüge der FE-Methode allen Ingenieuren bekannt sein, um zumindest die problemgerechte Einsetzbarkeit in der Praxis beurteilen zu können. Nachfolgend wird daher der Versuch unternommen, einen komprimierten Überblick über Theorie und Anwendung zu geben, um somi-t die meist vorhandenen divergierenden Interessen auszumitteln.
Einleitend wurde schon kurz dargelegt, daß die Methode der finiten Elemente für eine große Klasse von naturwissenschaftlich-technischen Aufgaben interessant und vorteilhaft ist. Bild 2/1 zeigt eine Zusammenstellung von bisher bekannten Anwendungen. Der Schwerpunkt liegt dabei eindeutig bei Festigkeits-, Wärmeleitungs- und Strömungsproblemen.
Wie zuvor schon angesprochen, ist die FE-Methode eine computerorientierte Berechnungsmethode, deren Ablauf gut programmierbar ist. Dies setzt voraus, daß alle wesentlichen Gleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden müssen. Als besonders zweckmäßig hat sich hierbei die Matrizenformulierung erwiesen, weshalb wir die bekannten Gleichungen der Elastizitätstheorie neu formulieren müssen. Das Ziel besteht in der Aufstellung der finiten Grundgleichungen und der Ermittlung von Zusammenhängen zwischen den Steifigkeiten, Massen, Kräften und Verschiebungen.
Ein vom Verständnis der Vorgehensweise guter Einstieg in die Finite-Element-Methode stellt die von der Tragwerksberechnung her bekannte Matrix-Steifigkeitsmethode dar. Wie man später erkennen wird, ist der ablaufende Formalismus dem der FE-Methode völlig identisch.
Auf die Bedeutung der Verschiebungsansätze wurde in den vorausgegangenen gründsätzlichen Betrachtungen zur Methode schon hingewiesen. Vor diesem Hintergrund stellt sich einem Anwender somit die Frage, nach welchen Regeln mögliche Ansätze zu bilden sind. Im wesentlichen müssen Verschiebungsansätze folgende drei Bedingungen /6.1/ erfüllen.
Die kommerziell verfügbaren FEM-Programmsysteme bieten eine Vielzahl von Elementen an, die typisiert werden können in STAB-, BALKEN-, SCHEIBEN-, PLATTEN-, SCHALEN- und VOLUMEN-Elemente. Diese Elemente werden überwiegend dreidimensional beschrieben und durch Sperren einzelner Freiheitsgrade dann ein- oder zwei dimensional en Problemen angepaßt. Im folgenden wollen wir uns exemplarisch mit einigen Elementen auseinandersetzen, um grundsätzliche Prinzipien zu erkennen. Aus diesem Grund sind hier unterschiedliche Beschreibungsmöglichkeiten gewählt worden.
Als eine grundlegende Arbeitstechnik bei der praktischen Anwendung der FEM wird man nach einiger Zeit die Teil- oder Unterstrukturtechnik begreifen. Diese ist dann einzusetzen, wenn es zweckmäßiger ist, große Strukturen in mehrere Teile zu zerlegen, um vielleicht insgesamt übersichtlicher zu werden oder die Möglichkeit zu schaffen ist, daß mehrere Bearbeiter ein Problem aufbereiten können. Ein weiterer Vorteil ist auch darin zu sehen, daß jede Teilstruktur für sich in einem Rechenlauf austestbar ist und somit lokale Modellmodifikationen möglich sind, ohne daß hiervon die anderen Teilstrukturen betroffen sind. Generell kann die Teilstrukturtechnik auf allen Ebenen der FEM-Theorie (lineare Elastik, elasto-plastisches Material — verhalten, Dynamik, Wärmeleitung etc.) eingesetzt werden.
Zuvor wurde die Anwendbarkeit der Finite-Element-Methode in der Elastostatik beispielhaft begründet. Viele Probleme des Maschinenbaus sind aber dynamischer Natur, d. h. zeitabhängigen Belastungen F(t), p(t) und/oder q(t) unterworfen. Demzufolge sind auch die auftretenden Verschiebungen u(x, y, z; t), v(x, y, z; t), w(x, y, z; t) nicht nur Funktionen des Ortes, sondern auch der Zeit. Zwangsläufig gilt dies dann auch für die Verzerrungen ε(x, y, z; t) und die Spannungen σ(x, y, z; t). Unter Berücksichtigung dieser Verhaltensweise wollen wir nachfolgend nun einige einfache Grundprobleme und deren Bearbeitung mit der Finite-Element-Methode (s. auch /9.1/) aufgreifen.
Bei der vorausgegangenen Formulierung der FE-Methode wurde angenommen, daß die Verschiebungen in einer Struktur klein sind und sich der Werkstoff linear-elastisch verhält. In der finiten Gleichung
macht sich diese Linearität so bemerkbar, daß bei einer Laststeigerung auf α · P auch die Verschiebungen um α · U zunehmen. Hiervon abweichend treten in der Praxis häufig aber auch nichtlineare Materialprobleme, Plastizität, Kriechen und geometrisches nichtlinearesProblem (Instabilität) auf. Wir wollen nun im Sinne einer Abrundung der Elastostatik auf diese Problemkreise noch kurz eingehen, da einige Programmsysteme auch derartige alternative Berechnungen zulassen.
Schon in der einleitenden Wertung der FE-Methode wurde herausgestellt, daß die Methode, nicht nur in der Elastizitätstheorie, sondern auch bei Feldproblemen wie Wärmeleitung, Strömung und Magnetismus anwendbar ist. Da insbesondere die Wärmeleitung im Maschinen- und Fahrzeugbau eine wichtige Problematik darstellt, wollen wir in der abschließenden Darstellung auch noch auf die methodische Aufbereitung dieses Problemkreises eingehen.
Im Nachgang zu der bisherigen Darlegung der FE-Methode sollen abschließend einige Grundprinzipien der Anwendung diskutiert werden, deren Nichtbeachtung entweder zu Fehlern oder unnötigem Aufwand führt. Da in der Praxis die Anwendungsgesichtspunkte und damit Probleme naturgemäß sehr vielschichtig sind, können die folgenden Ausführungen nur als Querschnitt aus eigener Erfahrung /12.1/ verstanden werden.
Bei der einleitend vorgenommenen Positionierung der FE-Methode ist ausgeführt worden, daß die Industrie heute an der Verwirklichung der CAE-Kette: CAD + FEM arbeitet. Diese kann aber letztlich in der Anwendung nur effizient sein, wenn das Berechnungsergebnis so umgesetzt wird, daß eine optimale Bauteilgeometrie entsteht. Hierhinter steht also die Vorstellung, Fertigungsunterlagen so gezielt zu erstellen, daß bestimmte Vorgaben hinsichtlich des Gewichts, der Beanspruchbarkeit oder der Lebensdauer erfüllt werden.
