1. Grundlagen der Mengenlehre

Die Inklusionszeichen \(\subset\) und \(\supset\) werden in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Sie bezeichnen gelegentlich die nicht notwendig echte Inklusion.

Ein Anfänger übersieht leicht, dass eine Menge leer sein kann. Will man etwa aus einer gegebenen Menge A ein Element a ₀ herausgreifen, so vergewissere man sich, dass A nicht leer ist.

Selbst wenn die Elemente der Menge A konkrete Objekte unserer Anschauung sind, ist ihre Potenzmenge als Ganzes nur ein Objekt des Denkens.

Dies ist gewissermaßen eine Schöpfung aus dem Nichts.

Nach K. Kuratowski (1896–1980) lässt sich der Begriff des Paares direkt auf Grundbegriffe der Mengenlehre zurückführen, indem man etwa \((x,y):=\{x,\{x,y\}\}\) setzt.

Die Potenzschreibweise B ^A ist durch die weiter unten eingeführten allgemeinen Produkte von Mengen motiviert.

Einige Autoren nennen Indikatorfunktionen auch charakteristische Funktionen. Neben e _J sind die Bezeichnungen \(\chi_{J},\mathbb{1}_{J}\) u. ä. üblich. Die Elemente 0,1 dürfen in einem beliebigen Ring liegen, der nötigenfalls zu spezifizieren ist. Im Allgemeinen und ohne Spezifierung ist dies (der Ring) \(\mathbb{Z}\).

Wir bemerken, dass die Terminologie für Graphen in der Literatur nicht einheitlich ist (und häufig erst aus dem Kontext erschlossen werden muss).

\(\mathbb{Z}/\mathbb{Z}5\) ist übrigens ein Körper, in \(\mathbb{Z}/\mathbb{Z}6\) jedoch besitzen nur die Restklassen 1 und 5 ein Inverses bezüglich der Multiplikation.

Man beachte, dass der „ganzzahlige Quotient“ \(x\;\mathrm{DIV}\;T\) vom ganzen Teil \([x/T]\) verschieden sein kann. Die Funktionen DIV und MOD werden vor allem in Computersprachen und dort gelegentlich auch in anderer Weise definiert.

In der Literatur findet man auch die Bezeichnung „partiell geordnete Menge“ für eine geordnete Menge (im Englischen „poset“). Dann wird unter einer „geordneten Menge“ häufig eine total geordnete Menge verstanden.

Die Gültigkeit des Auswahlaxioms setzt – insbesondere bei nicht abzählbaren Indexmengen I – großes Vertrauen in die Fähigkeiten des menschlichen Verstandes voraus und wird nicht von allen Mathematikern akzeptiert (oder nur in eingeschränkter Weise). Man versucht daher, wo es möglich ist, die Anwendung des Auswahlaxioms zu vermeiden, insbesondere also die in den folgenden vier Sätzen ausgesprochenen Konsequenzen.

Nach E. Artin (1898–1962) bzw. E. Noether (1882–1935).

Zu Verallgemeinerungen verweisen wir auf Abschn. 2.​1.

Die Wahl des Buchstabens \(\varPhi\) soll an \(\varPhi\varepsilon\iota\delta\iota\alpha\varsigma\) (5. Jh. v. Chr.) erinnern. Die Zahl \(\varPhi\) des Goldenen Schnitts wird häufig auch mit τ bezeichnet. – Für α:=π ∕ 5 folgen aus \(0=\sin 3\alpha-\sin 2\alpha=(4\cos^{2}\alpha-1-2\cos\alpha)\sin\alpha\) die Gleichungen \(4\cos^{2}\alpha-2\cos\alpha-1=0\) und \(2\cos\alpha=2\cos(\pi/5)=\varPhi\). Somit lassen sich \(\cos(\pi/5)\) und folglich das regelmäßige Zehneck sowie das regelmäßige Fünfeck mit dem Goldenen Schnitt konstruieren. Vgl. die Darstellung von ζ₅ in Aufg. 3.​5.​28.

Kronecker meint die natürlichen Zahlen.

In der englischsprachigen Literatur ist auch die Bezeichnung \(\#A\) für \(|A|\) üblich.

Wir empfehlen generell, für Gleichungen, deren Terme kombinatorisch interpretiert werden können, nach kombinatorischen Begründungen zu suchen. Man gewinne beispielsweise die einfachen Gleichungen \(2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{n}=2^{n+1}-1\), \(n\in\mathbb{N}\), durch passendes Abzählen der vom 0-Tupel verschiedenen 0-1-Folgen der Länge n + 1.

Wir verwenden die asymptotische Gleichheit ∼ in folgendem Sinne: Sind \((a_{n})\) und \((b_{n})\) Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen, so bedeutet \(a_{n}\sim b_{n}\), dass die Folge \((a_{n}/b_{n})\) für hinreichend große n definiert ist (d. h. \(b_{n}\neq 0\) ist für hinreichend große n) und gegen 1 konvergiert, vgl. Aufg. 3.​2.​9.

n Schafe haben zusammen 4n Beine. Es kann gelegentlich durchaus bequemer sein, zunächst die Beine statt die Schafe zu zählen, vgl. etwa den Beweis zu Satz 1.6.9.

Eine Eigenschaft gilt für fast alle Glieder einer Familie \((x_{i})_{i\in I}\), wenn sie für alle x _i mit höchstens endlich vielen Ausnahmen gilt, d. h. wenn es eine endliche Teilmenge \(J\subseteq I\) gibt derart, dass alle x _i , \(i\in I-J\), die in Rede stehende Eigenschaft besitzen. Diese äußerst nützliche und suggestive Sprechweise wurde wohl erstmals in dem Lehrbuch „Grundzüge der Differential- und Integralrechnung“, p. 13, von G. Kowalewski verwendet.

Man beachte, dass der ggT von a und b nicht mit der natürlichen Ordnung von \(\mathbb{N}^{*}\), sondern mit der Teilbarkeit \(\mathrel{|}\) (die ebenfalls eine Ordnung auf \(\mathbb{N}^{*}\) ist) definiert wird. Existiert \(\mathop{\mathrm{ggT}}(a,b)\), so ist er natürlich auch der größte gemeinsame Teiler von a und b bzgl. der natürlichen Ordnung von \(\mathbb{N}^{*}\).

Für das kgV positiver natürlicher Zahlen gilt eine ähnliche Bemerkung wie in der vorangegangenen Fußnote für den ggT.

Diese Bezeichnung geht bereits auf Aristoteles (384–322 v. Chr.) zurück. Die Wechselwegnahme wurde von den Griechen auch zum Vergleich von Strecken benutzt, siehe Beispiel 3.​3.​11 über Kettenbrüche.

Der gewöhnliche Euklidische Algorithmus fasst mehrere gleichartige Schritte der Wechselwegnahme, die unmittelbar hintereinander ausgeführt werden, zu einem Schritt zusammen.

Bei n = 2 vgl. dazu auch Fußnote 34 in Abschn. 1.8 weiter unten.

Die irrationale Zahl \(\sqrt{2}+\sqrt{3}=3{,}14626\ldots\) wurde von Platon (427–347 v. Chr.) als Näherung der Kreiszahl \(\pi=3{,}14159\ldots\) angegeben. Zumindest vermutet das K. Popper in: Die offene Gesellschaft und ihre Feinde 1, München 1980, Anm. 9 [4] zu Kap. 6.

\((m,k)\) ist also das kleinste Element in der Menge aller Periodenpaare von \((x_{i})\), wobei \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}^{*}=(\mathbb{N},\leq)\times(\mathbb{N}^{*},\mathrel{|})\) die Produktordnung trägt. Die Ordnung auf \(\mathbb{N}^{*}\) ist die Teilbarkeit, vgl. Aufg. 1.4.1.

Die euklidischen Nim-Spiele bestimmen spielerisch den ggT zweier positiver natürlicher Zahlen.

Man beachte, dass \(\varPhi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\) irrational ist. a ∕ b kann also nicht gleich einem der Randpunkte \(\varPhi^{-1},\varPhi\) des Intervalls sein. Wäre nämlich \(\varPhi=a/b\) oder \(\varPhi^{-1}=b/a=\varPhi-1\), \(a,b\in\mathbb{N}^{*}\), rational, so würde eine Partie mit der Ausgangsposition \((a,b)\) wegen \((a-b)/b=a/b-1=b/a\) niemals enden, was absurd ist. Wegen dieses einfachen Arguments nimmt man an, dass \(\varPhi\) (und nicht \(\sqrt{2}=\) Länge der Diagonalen im Einheitsquadrat) die erste Zahl war, die von den Griechen (speziell von dem Pythagoreer Hippasos von Metapont (um 450 v. Chr.)) als irrational erkannt wurde, vgl. K. von Fritz: The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum, Ann. of Math. 48, 242–264 (1945).

Wir erinnern daran, dass e _A die Indikatorfunktion von \(A\subseteq\mathbb{N}\) ist. Die Abbildung f ist sogar ein Ordnungsisomorphismus, wenn \(\mathcal{U}\subseteq\mathfrak{P}(\mathbb{N})=\{0,1\}^{\mathbb{N}}\) die lexikographische Ordnung trägt. Man beachte \(\sum_{n\in\mathbb{N}}1/2^{n+1}=1\).

Unter einem Kreis wollen wir hier (und in den Aufgaben dieses Abschnitts) eine Kreisscheibe mit positivem Radius einschließlich ihrer Peripherie verstehen.

Der Leser sollte die Ungleichung \(R_{1}+R_{2}\geq 2\sqrt{R_{1}R_{2}}\) für das arithmetische und geometrische Mittel der Radien \(R_{1},R_{2}\) „sehen“ (wobei das Gleichheitszeichen nur für \(R_{1}=R_{2}\) gilt).

Dies ist wohl der Hintergrund dafür, dass im täglichen Leben Kardinalzahlen und Ordinalzahlen nicht immer deutlich unterschieden werden.

Zu jedem \(\varepsilon> 0\) gibt es also ein \(n_{0}\in\mathbb{N}\) mit \(R_{n}\leq\varepsilon\) für alle \(n\geq n_{0}\), vgl. Definition 3.​2.​1.