Ideale Punkte, Monaden und Nichtstandard-Methoden

Seit altersher haben sich Mathematiker mit dem Problem des Unendlichen beschäftigt und sich von ihm herausgefordert gefühlt. Doch stets war das Unendliche ein etwas sprödes Mädchen, leichtfertige Annäherungsversuche wurden sehr ungnädig behandelt und mit Paradoxien beantwortet. Die elementarste (und wie manche sagen, eigentlich die einzige) Erscheinungsform des Unendlichen ist die des potentiellen Unendlichen: Man kann ohne Grenzen weiterzäjilen, Größen halbieren etc.. Möchte man aber über eine solchermaßen erzeugte Gesamtheit von Dingen, mag sie nun “fertig” da sein oder nicht, etwas beweisen, so muß ein solcher Beweis seiner Natur nach einmalfertig und somit endlich sein. Um aber über unendliche Objekte in finiter Zeit reden zu können, bedarf es gewisser zusätzlicher Prinzipien oder Methoden, die es erlauben, an einer gewissen Stelle den Schluß zu ziehen, daß jetzt alle unendlich vielen Möglichkeiten erledigt seien. Solche Mittel ermöglichen dann eine endlich lange Argumentation, weshalb man sie auch Finitarisierungsmaßnahmen nennen kann. Die klassische Mathematik hat eine ganze Reihe solcher Maßnahmen anzubieten, von denen noch die Rede sein soll. Sie bedeuten fast immer auch den Übergang vom potentiellen zum aktualen Unendlichen. Auf die philosophischen Hintergründe wollen wir hier nicht eingehen; sie sind auch bis zu einem gewissen Grade für den Mathematiker irrelevant, weil man es nämlich häufig offen lassen kann, ob ein unendliches Objekt “wirklich existiere”, oder ob man dies bloß hypothetisch, als Sprechweise annimmt (zum Begriff der “Finitarisierung” vergleiche man auch W.Felscher in [Fe]).

In der Mathematik kommen im wesentlichen zwei Arten von Axiomensystemen vor. Bei der ersten Sorte sollen möglichst verschiedenartige Strukturen, die jedoch gewisse einheitliche, als nützlich erkannte Eigenschaften besitzen, beschrieben werden. Die Theorie dieser Strukturen soll dann auf möglichst viele Probleme angewandt werden; Beispiele dafür sind etwa die Verbands- oder die Gruppentheorie oder auch die Theorie der to- pologischen Räume. Bei der zweiten Sorte von Axiomensystemen ist man bestrebt, eine intuitiv vorgestellte, noch nicht ganz scharf umrissene Struktur mathematisch-axiomatisch zu beschreiben. Diese Situation haben wir im Falle der reellen Zahlen. Ein Axiomensystem für die reellen Zahlengerade wird man hauptsächlich danach beurteilen, wie gut die Folgerungen aus den Axiomen mit dem übereinstimmen, was man anschaulich erwartet, wie “evident” die Axiome sind und wie praktisch das System zu handhaben ist. Hierin liegt natürlich eine gewisse Gefahr, weil die Anschauung uns ja bekanntlich täuschen kann. Auf der anderen Seite ist man bei der Aufstellung eines neuen Axiomensystems für die reellen Zahlen leicht voreingenommen, wenn man bereits ein anderes kennt, denn das Studium eines speziellen Modells der “reellen Zahlengeraden” bleibt nicht ohne Rückwirkung auf die Anschauung. Der Leser wird daher gebeten, sich in die naiv-unschuldige Situation eines Studienanfängers zu versetzen, der in die Analysis eingeführt werden soll.

Wir wollen jetzt einen Teil der Analysis auf der Basis des Axiomensystems des letzten Abschnittes entwickeln. Die Begriffe und Lehrsätze der Analysis sind nun von zweierlei Art. Zum einen hat man die Phänomene, an denen man, etwa von der Geometrie oder Physik her, primär interessiert ist. Dem gegenüber stehen Abschnitte mehr technischer Art, die durch den jeweils gewählten Aufbau der Theorie bedingt (aber für diesen auch notwendig) sind. Wir dürfen uns nicht wundern, wenn sich die Nichtstandard-Analysis in dieser zweiten Hinsicht von der üblichen Analysis auch in ihren Begriffsbildungen unterscheidet.

Wir haben im letzten Kapitel die hyperreellen Zahlen als eine Erweiterung der reellen Zahlen kennengelernt. Dies ergab uns dann die hyperreelle Erweiterung von beliebigen Teilmengen X ⊆ ℝⁿ und führte uns beispielsweise zu den hypernatürlichen Zahlen. Dabei waren nun zwei Dinge von entscheidender Bedeutung:

Mit unseren neuen, verstärkten Hilfsmitteln wollen wir jetzt Kapitel III fortsetzen und uns weiteren Anwendungen in der Analysis zuwenden. Dabei wollen wir uns zunächst mit Differentialgleichungen beschäftigen.

Topologische Räume können wir uns sowohl in der Form (X,O), wobei O die Familie der offenen Mengen ist, als auch in der Form (X,A), wobei A die Familie der abgeschlossenen Mengen ist, gegeben denken. Es genügt sogar, eine Basis B für die offenen (resp. die abgeschlossenen) Mengen anzugeben; jede offene (resp. jede abgeschlossene) Menge ist dann eine Vereinigung (resp. ein Durchschnitt) von Basismengen. Hiervon werden wir gelegentlich Gebrauch machen,. Topologische Räume sind dazu da, Phänomene wie Konvergenz und Stetigkeit zu beschreiben. Dies geschieht meistens mit Hilfe des Filterbegriffs, den wir kurz vorstellen wollen.

In der Algebra und der Zahlentheorie spielen “ideale Elemente” seit jeher eine bedeutende Rolle. Das beste Beispiel dafür ist der Begriff “Ideal” selbst. Er wurde von Kummer bei der Betrachtung des Ringes R der Zahlen von der Form a+b·\(\sqrt { - 5} \) mit a, b ganze Zahlen eingeführt. Dieser Ring besitzt keine eindeutige Primfaktorzerlegung (etwa ist 6 = 2 · 3= (1+\(\sqrt { - 5} \) · (1-\(\sqrt { - 5} \)). Zur Behebung des Mißstandes wurde der Ring R in einen größeren eingebettet, in dem die Zerlegung wieder eindeutig war. Die neu hinzugenommenen Elemente wurden “ideale Zahlen” genannt; in unserer heutigen Sprechweise sagen wir: R wird in den Bereich der Ideale über R abgebildet, wobei jedem Element das von ihm erzeugte Hauptideal zugeordnet wird. Derlei Konstruktionen kommen nun sehr häufig vor (etwas überspitzt könnte man formulieren: Aus ihnen besteht die Algebra); wir interessieren uns hier für solche Fälle, in denen das Unendliche eine Rolle spielt.

Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit den effektiv berechenbaren Funktionen im Bereich der natürlichen Zahlen. Dahinter steckt die Idee, daß eine solche Funktion von einer Maschine auf “mechanische Weise” berechnet werden kann. Es hat verschiedene mathematische Präzisierungen dieser Idee gegeben, sie haben sich aber alle als gleichwertig erwiesen (vgl. etwa [He]). Wir wählen hier die Darstellung durch Registeroperatoren, was der Vorstellung von einer in einzelnen Schritten arbeitenden “Rechenmaschine” sehr nahe kommt und eigentlich nur insoweit eine Idealisierung ist, als eine Speicherzelle beliebig große Zahlen speichern kann.

Im ganzen bisherigen Verlauf unserer Betrachtungen haben wir untersucht, wie man in der Nichtstandard-Analysis oder allgemeiner in der Nichtstandard-Mathematik arbeitet. An den Anfang der Überlegungen haben wir Axiome gestellt. Die weiterführenden Untersuchungen sollten darlegen, wie man einen solchen Ansatz zum Lösen mathematischer Probleme und zum Modellieren mathematischer und realer Situationen benutzen kann; dies geschah in der Hoffnung, den Axiomen und der Methode auch nachträglich eine gewisse Plausibilität, Motivation und Rechtfertigung abzugewinnen. Nun sind aber schöne Ansätze sicher dann nichts wert, wenn sie innere Widersprüche in sich tragen und wir kommen schließlich nicht daran vorbei, uns die Frage zu stellen, ob denn unser ganzes Vorgehen überhaupt legitim ist. Probleme wie “Ist ein gewisses Axiomensystem widerspruchsfrei?” oder “Sind diese und jene Schlußweisen erlaubt?” sind Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung. Eine typische Schwierigkeit ist hier, daß Begriffe, mit denen man über Mathematik redet, wie “Wahrheit”, “Beweis” etc. selber wieder zum Gegenstand mathematisch-logischer Betrachtungen gemacht werden. Eine solche Mathematisierung eigentlich “naiver” oder “metamathematischer” Begriffe nennt man auch oft eine Formalisierung. In diesem Sinne hat man dann zwei Wahrheitsbegriffe: einen umgangssprachlich naiven und einen formalen, d.h. mathematisch definierten; genau wie man einen naiven “Abstand” und einen in der Geometrie definierten hat. Das Hauptproblem ist dabei die (mathematische) Angabe eines geeigneten sprachlichen Rahmens; wenn es überhaupt geht, ist es ziemlich klar, wie man dann den Wahrheitsbegriff zu erklären hat.