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Soft Computing
Erschienen in: Soft Computing 3/2013

01.03.2013 | Original Paper

Ideals and congruences of basic algebras

verfasst von: Ivan Chajda, Jan Kühr

Erschienen in: Soft Computing | Ausgabe 3/2013

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Abstract

MV-algebras as well as orthomodular lattices can be seen as a particular case of so-called “basic algebras” which are an alter ego of bounded lattices whose sections are equipped with fixed antitone involutions. The class of basic algebras is an ideal variety. In the paper, we give an internal characterization of congruence kernels (ideals) and find a finite basis of ideal terms, with focus on monotone and effect basic algebras. We also axiomatize basic algebras that are subdirect products of linearly ordered ones.
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Fußnoten
1
Almost nothing—in fact, the intersection of basic algebras and BL-algebras are MV-algebras. Indeed, if \(\langle A;\vee ,\wedge ,\odot ,\rightarrow ,0,1\rangle \) is a BL-algebra, then for each \(a\in A\), the map \(\varphi _a:[a,1]\rightarrow [a,1]\) defined by \(\varphi _a(x)=x\rightarrow a\) is antitone, but it need not be an involution. The \(\varphi _a\)’s are involutions only if the BL-algebra satisfies the law of double negation, i.e., if it is (equivalent to) an MV-algebra.
 
2
At first glance, this might seem to be a misprint, but we do mean “p-ideals”, not pre-ideals. It can happen that a pre-ideal of an orthomodular basic algebra is not a p-ideal (or even a lattice ideal) of the corresponding orthomodular lattice (see Krňávek and Kühr 2011).
 
3
The original result is due to Ravindran (1996); in Dvurečenskij and Vetterlein (2001), a more general result is proved for pseudo-effect algebras and pseudo-MV-algebras that are non-commutative counterparts of effect algebras and MV-algebras, respectively.
 
Literatur
Botur M, Halaš R, Kühr J (2012) States on commutative basic algebras. Fuzzy Sets Syst 187:77–91MATHCrossRef
Chajda I, Halaš R (2008) Varieties of lattice effect algebras generated by 4-element members. Acta Sci Math Szeged 74:49–64MathSciNetMATH
Chajda I, Kolařík M (2009) Independence of axiom system of basic algebras. Soft Comput 13:41–43MATHCrossRef
Chajda I, Halaš R, Kühr J (2009a) Many-valued quantum algebras. Algebra Univers 60:63–90MATHCrossRef
Chajda I, Halaš R, Kühr J (2009b) Every effect algebra can be made into a total algebra. Algebra Univers 61:139–150MATHCrossRef
Cignoli RLO, D’Ottaviano IML, Mundici D (2000) Algebraic foundations of many-valued reasoning. Kluwer, DordrechtMATHCrossRef
Dalla Chiara M, Giuntini R, Greechie R (2004) Reasoning in quantum theory: sharp and unsharp quantum logics. Kluwer, DordrechtMATH
Dvurečenskij A, Pulmannová S (2000) New trends in quantum structures. Kluwer, DordrechtMATH
Dvurečenskij A, Vetterlein T (2001) Pseudoeffect algebras II: group representations. Int J Theor Phys 40:703–726MATHCrossRef
Kalmbach G (1983) Orthomodular lattices. Academic Press, LondonMATH
Krnávek J, Kühr J (2011) Pre-ideals of basic algebras. Int J Theor Phys 50:3828–3843MATHCrossRef
Pulmannová S, Vinceková E (2009) Congruences and ideals in lattice effect algebras as basic algebras. Kybernetika 45:1030–1039MathSciNetMATH
Ravindran K (1996) On a structure theory of effect algebras. PhD thesis, Kansas State Univ., Manhattan
Metadaten
Titel
Ideals and congruences of basic algebras
verfasst von
Ivan Chajda
Jan Kühr
Publikationsdatum
01.03.2013
Verlag
Springer-Verlag
Erschienen in
Soft Computing / Ausgabe 3/2013
Print ISSN: 1432-7643
Elektronische ISSN: 1433-7479
DOI
https://doi.org/10.1007/s00500-012-0915-4

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