Ingenieurmathematik mit Computeralgebra-Systemen

Der Hauptzweck dieses Buches besteht darin, Ingenieuren und Naturwissenschaftlern aufzuzeigen, wie man mathematische Probleme aus Technik und Naturwissenschaften mit dem Computer unter Verwendung eines der universellen Computeralgebra- und Mathematik-Systeme (kurz: Systeme) AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD lösen kann.

Die im Rahmen dieses Buches verwendeten Systeme kann man als Computeralgera-Systeme bezeichnen, da in allen Methoden der Computeralgebra enthalten sind.

Befassen wir uns ausführlicher mit der Handhabung und dem Aufbau der Systeme, von denen wir die WINDOWS-Versionen betrachten. Dabei gehen wir im Abschn.3.1 und 3.2 auf allgemeine Prinzipien bei der Handhabung bzw. im Aufbau der Systeme ein, während wir in den Kap.4–11 Handhabung und Aufbau der einzelnen Systeme betrachten.

Wir legen die Version 2.1.1 für WINDOWS 95 von 1996 zugrunde, die in englischer Sprache vorliegt und von der Firma NAG vertrieben wird. Während die vorhergehenden Versionen nur für das Betriebssystem UNIX erstellt wurden, gibt es diese Version auch für PCs.

Wir verwenden im Rahmen dieses Buches die englischsprachige Version 4.01 von DERIVE unter WINDOWS 95. Die vorhergehenden Versionen waren nur unter DOS lauffähig (siehe [1–3]).

Im folgenden legen wir die Version 2.1 für WINDOWS (3.1 oder 95) von 1996 zugrunde, die ebenso wie die vorhergehenden Versionen nur in englischer Sprache vorliegt.

Im folgenden legen wir die Version MAPLE V Release 4 für WINDOWS (3.1 oder 95) von 1996 zugrunde, die ebenso wie die vorhergehenden Versionen nur in englischer Sprache existiert.

Im folgenden wird die Version 6.0 PLUS für WINDOWS (3.1 oder 95) von 1995 zugrunde gelegt, die in englischer und deutscher Sprache vorliegt. Wir beschreiben den Aufbau der englischen Version. Wir stellen absichtlich die englische Version in den Vordergrund, da jede neu entwickelte Version zuerst in englisch erscheint. Die Version 6.0 PLUS besitzt den gleichen Aufbau und die gleiche Benutzeroberfläche wie die Version 6.0, sie ist nur um die folgenden Leistungsmerkmale erweitert:erweiterte symbolische Funktionenmehr numerische Rechenfunktionenerweiterte Matrixfunktionenzusätzliche Lösungsfunktionen für Differentialgleichungenintegrierbare C/C++-Funktionenstatistische FunktionenIntegraltransformationenerweiterte Grafikfunktionenerweiterte Programmiermöglichkeiten

Im folgenden legen wir die Version 3.0 für WINDOWS 95 von 1996 zugrunde, die ebenso wie die vorhergehenden Versionen nur in englischer Sprache vorliegt.

Im folgenden legen wir die Version 5 für WINDOWS 95 von 1996 zugrunde, die ebenso wie die vorhergehenden Versionen nur in englischer Sprache vorliegt. MATLAB steht für Matrix Laboratorium, d.h., die ersten Versionen von MATLAB wurden Ende der siebziger Jahre als Matrixsoftware erstellt.

Im folgenden legen wir die Version 1.3 für WINDOWS 95 von 1997 zugrunde, die nur in englischer Sprache vorliegt.

In den vorangehenden Kapiteln haben wir bereits die Eingabe eines zu berechnenden Ausdrucks und die Auslösung seiner Berechnung für die einzelnen Systeme kennengelernt.

Die Systeme kennen folgende Zahlendarstellungen:Ganze Zahlen werden in der üblichen Form als Folge von Ziffern eingegeben. Gibt man sie bei exakten Rechnungen mit Dezimalpunkt hinter der letzten Ziffer ein (d.h. in Dezimalschreibweise), so werden die Ergebnisse als Dezimalzahlen ausgegeben.Rationale Zahlen können für exakte Rechnungen als Brüche ganzer Zahlen eingegeben werden. Des weiteren ist ihre Eingabe als Dezimalzahlen zulässig. Da aber nur endliche Dezimalzahlen möglich sind, können Rundungsfehler auftreten.Reelle Zahlen lassen sich für exakte Rechnungen im Rahmen der Computeralgebra nur exakt eingegeben, wenn dies als Symbolmöglich ist, wie z.B.$$\sqrt{2}$$, π und eAnsonsten ist nur die näherungsweise Eingabe als endliche Dezimalzahl möglich.Komplexe Zahlen z = a + b· iwerden in der üblichen mathematischen Schreibweise mit Realteil a und Imaginärteil b eingegeben, wobei die imaginäre Einheit i bei den einzelnen Systemen unterschiedlich geschrieben wird: AXIOM: %iDERIVE: îwird mittels #i eingegeben oder als Symbol aus der DialogboxAuthor Expression entnommen.MACSYMA: %iMAPLE: IMATHCAD: i oder jFalls der Imaginärteil 1 ist, muß li bzw. lj ohne Multiplikationspunkt geschrieben werden.MATHEMATICA: IMATLAB: i oder jMuPAD: I

Bei der Arbeit mit den Systemen ist es vorteilhaft, mehrere Größen als eine Gesamtheit zu betrachten und hiermit zu rechnen wie mit einem einzigen Objekt. Diese Größen stellen meistens Zahlen, Variablen, Ausdrücke oder Gleichungen dar und werden im folgenden zusammenfassend als Daten bezeichnet.

Manchmal ist es erforderlich, eigene Programme zu schreiben, damit man diejenigen Probleme lösen kann, für die keine passenden Kommandos in den vorhandenen Systemen gefunden wurden. In den Systemen werden Programme zu bestimmten Problemstellungen auch als Pakete (Packages), Zusatzdateien, Dokumente, Toolboxen... bezeichnet.

Mit den Systemen lassen sich eine Vielzahl von Rechnungen und Untersuchungen im Rahmen der Mengenlehre und Logik durchführen. Diese stehen aber nicht im Mittelpunkt der Ingenieurmathematik. Wir behandeln im folgenden nur einige grundlegende Operationen, die wir im weiteren für die Darstellung mathematischer Ausdrücke bzw. für die Programmierung benötigen.

Die Anwendung als Taschenrechner zählt nicht zu den Haupteinsatzgebieten der Systeme. Hierfür kann man weiterhin den Taschenrechner benutzen.

Die Umformung (Manipulation) mathematischer Ausdrücke bildet einen Schwerpunkt in Anwendungen der Systeme.

In ingenieurtechnischen Berechnungen sind häufig (endliche) Summen und manchmal (endliche) Produkte reeller Zahlen zu berechnen.

Vektoren und Matrizen spielen in Technik und Naturwissenschaften eine grundlegende Rolle, so u.a. bei (siehe [41]/2,I) der Darstellung und Lösung linearer Gleichungssystemeder Beschreibung elektrischer Netzwerke unter Verwendung der Kirchhoffschen Gesetze. Hier läßt sich der strukturelle Aufbau durch Matrizen darstellen.der Beschreibung von Vierpolen durch Verknüpfungsmatrizender Beschreibung von Kettenschaltungen von Vierpolen durch Übertragungsmatrizen.

Zur Untersuchung von Funktionen stellen die Systeme umfangreiche Hilfsmittel zur Verfügung. Hierzu zählen u.a. Kommandos/Menüfolgen zur Lösung von Gleichungen: Zur Bestimmung von Nullstellen, Extremwerten und Wendepunkten.Kommandos/Menüfolgen zur Grenzwertberechnung: Zur Untersuchung des Verhaltens in einzelnen Punkten und im Unendlichen:Kommandos/Menüfolgen zur Differentiation: Zur Bestimmung von Monotonieintervallen, Extremwerten und Wendepunkten.

Mittels der in den Systemen enthaltenen Grafikkommandos kann man u.a. Kurven in der Ebene R2 (ebene Kurven)Kurven im Raum R3 (Raumkurven)Flächen im Raum (R3) auf dem Bildschirm darstellen.

Gleichungen und Ungleichungen spielen in der Ingenieurmathematik eine fundamentale Rolle, da sich viele technische und naturwissenschaftliche Zusammenhänge durch sie darstellen lassen.

Für die Berechnung der Ableitungen einer differenzierbaren Funktion, die sich aus elementaren Funktionen (siehe Abschn.21.2) zusammensetzt, läßt sich ein endlicher Algorithmus angeben. Dieser Algorithmus beruht auf den bekannten Ableitungen für elementare Funktionen und den Differentiationsregeln (siehe [41]/1,IV.2): Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel.

Betrachten wir zuerst die Integration von reellen Funktionen y = f(x) einer reellen Variablen x.

Zahlenreihen fallen bei der Lösung einer Reihe von Problemen der Ingenieurmathematik an. Im Abschn.26.2 illustrieren wir die Möglichkeiten, die die Systeme zur Berechnung unendlicher konvergenter Zahlenreihen bieten.

Die Grundlage der Vektoranalysis bilden Felder, wobei zwischen Skalar- und Vektorfeldern unterschieden wird.

Differentialgleichungen sind Gleichungen, in denen eine unbekannte Funktion und deren Ableitungen vorkommen. Diese unbekannte Funktion ist so zu bestimmen, daß die Differentialgleichung identisch erfüllt wird.

Integraltransformationen werden zur Lösung einer Reihe von Problemen der Ingenieurmathematik benötigt.

Es gibt eine Vielzahl von Optimierungsaufgaben, die in den Technik- , Natur- und auch in den Wirtschaftswissenschaften Anwendung finden.

Neben deterministischen Ereignissen, bei den der Ausgang eindeutig bestimmt ist, spielen in Technik und Naturwissenschaften Ereignisse eine große Rolle, die vom Zufall abhängen, d.h. deren Ausgang unbestimmt ist. Derartige Ereignisse werden als zufällige Ereignisse oder Zufallsereignisse bezeichnet.

Die Statistik befaßt sich allgemein mit Massenerscheinungen und liefert Methoden, um diese Massenerscheinungen* zu beschreiben* zu beurteilen* quantitativ zu erfassen Dazu wertet die Statistik vorhandenes Datenmaterial (Zahlenmaterial) für die betrachtete Massenerscheinung aus, das meistens durch Stichproben (siehe Abschn.32.2) gewonnen wird.

Das Anliegen des Buches besteht darin, ausgehend von einem zu lösenden mathematischen Problem, bei der Anwendung der behandelten Systeme AXIOM, DERIVE, MACSYMA, MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB und MuPAD die Vorgehensweise zu erklären, Gemeinsamkeiten herauszuarbeiten und Vor- und Nachteile aufzuzeigen.