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Erschienen in:
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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. Integration von Differentialformen

verfasst von : Prof. Dr. Adrian Hirn, Prof. Dr. Christian Weiß

Erschienen in: Analysis – Grundlagen und Exkurse

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dabei stimmen Differentialformen der Ordnung 0 mit den reellen Funktionen überein. Ein wesentlicher Vorteil der Verwendung von Differentialformen besteht darin, dass sie eine koordinatenunabhängige Integration über Untermannigfaltigkeiten ermöglichen.

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Fußnoten
1
Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Georges de Rham (1903–1990).
 
3
Alternativ können Differentialformen auch global auf der gesamten Untermannigfaltigkeit über ihre Interaktion mit Vektorfeldern definiert werden, siehe beispielsweise [Bau13].
 
4
Eine Menge V ⊂ M ist genau dann offen in M, falls es zu jedem p ∈ V ein δ > 0 gibt mit \(B_{\delta}(p)\cap M=\{x\in M\ | \ d(x,p)<\delta\}\subset V\).
 
5
Eine Basis \((v_1,\,\ldots,v_k)\) von \(\mathbb{R}^k\) bezeichnet man als positiv orientiert (bezüglich der kanonischen Orientierung des \(\mathbb{R}^k\)) oder kurz als positiv, falls \(\det(v_1,\,\ldots,v_k)>0\) gilt.
 
6
Benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Hassler Whitney (1907–1989).
 
7
Siehe Bd. 1, Abschn. 10.4.
 
8
Der Dezimalteil einer Zahl ist der Anteil nach dem Komma, also beispielsweise \(\left\{2,357\right\} = 0,357\).
 
9
Unter Projektion auf das Einheitsquadrat verstehen wir hier, dass das Bild von p in beiden Komponenten jeweils der Dezimalteil ist.
 
10
Benannt nach dem amerikanischen Mathematiker William Veech (*1938).
 
Literatur
[AM69]
M.. Atiyah, I. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
[Bau13]
H. Baum, Differential- und Integralrechnung auf Untermannigfaltigkeiten des RN, Vorlesungsskriptum, 2013.
[FK91]
H. Farkas, I. Kra, Riemann Surfaces, Springer, 1991.
[For77]
O. Forster, Riemannsche Flächen, Springer, 1977.
[For12]
O. Forster, Analysis 3. Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, Springer, 2012.
[Jan10]
S. Janson, Tensors and Differential Forms, Vorlesungsskriptum, 2010.
[KZ75]
A. Katok, A. Zemlyakov, Topological transitivity of billiards in polygons, Math. Notes 18 (2) (1975), 760–764.MathSciNetCrossRef
[Möl12]
M. Möller, Riemannsche Flächen, Vorlesungsskriptum, 2012.
[MT02]
H. Masur, S. Tabachnikov, Rational billiards and flat surfaces, H. Katok (Hrsg.), Handbook of Dynamical Systems 2 (2002), 1015–1089.
[Tab05]
S. Tabachnikov, Geometry and billiards, Oxford University Press, 2005.
Metadaten
Titel
Integration von Differentialformen
verfasst von
Prof. Dr. Adrian Hirn
Prof. Dr. Christian Weiß
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Analysis – Grundlagen und Exkurse

Print ISBN: 978-3-662-55535-4

Electronic ISBN: 978-3-662-55536-1

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55536-1_7