15. Kosmologie

Zu jedem zweidimensionalen Unterraum eines Tangentialraumes einer Riemannschen Mannigfaltigkeit gehört eine Zahl, genannt Schnittkrümmung, die sich aus der Metrik und dem kovarianten Krümmungstensor ergibt. Im Spezialfall einer gekrümmten Fläche ist das die Gauß-Krümmung. Wenn in einem Punkt der Mannigfaltigkeit alle Schnittkrümmungen gleich sind, lässt sich mit dieser Zahl der kovariante Krümmungstensor in diesem Punkt rekonstruieren. Wenn für eine mindestens dreidimensionale zusammenhängende Mannigfaltigkeit in jedem Punkt die Schnittkrümmungen unabhängig von der Auswahl des zweidimensionalen Unterraumes ist, ist das dadurch entstandene skalare Feld auf dieser Mannigfaltigkeit konstant. Solche Mannigfaltigkeiten haben dann eine sogenannte konstante Krümmung. Das kosmologische Prinzip besagt, dass das Weltall, in einem riesigen Maßstab aufgefasst, homogen und isotrop ist. Eine solche Raumzeit wird mit der Robertson-Walker-Metrik beschrieben. Für den zunächst noch unbestimmten Skalenfaktor werden Differentialgleichungen (Energiegleichung, Bewegungsgleichung, Friedmannsche Differentialgleichung) entwickelt. Als Interpretationen ergeben sich die Hubble-Konstante, das Hubble-Gesetz und die kosmologische Rotverschiebung.