Lineare Algebra für Ökonomen

Eine Fülle von Aufgaben aus den Anwendungen besteht darin, in einer beschreibbaren Grundmenge ein oder mehrere Elemente zu bestimmen, die bestimmten, im allgemeinen linearen Bedingungen genügen. Ein wesentliches Merkmal der hier in Betracht kommenden Grundmengen ist oft ihre besondere algebraische Struktur, die es zuläßt, innerhalb der jeweiligen Grundmenge zwei beliebige Elemente zu „addieren“ oder ein beliebiges Element mit irgendeiner Zahl — in unserem Fall stets mit einer reellen Zahl — zu „multiplizieren“. Um die Lösbarkeit der eingangs genannten Aufgaben entscheiden und die gegebenenfalls existierenden Lösungen beschreiben zu können, ist es erforderlich oder mindestens sehr nützlich, die erwähnte algebraische Struktur der Grundmengen und die daraus ableitbaren Folgerungen genauer zu untersuchen.

Nehmen wir an, ein Produktionsbetrieb könne drei verschiedene Güter A, B and C herstellen, and wir interessieren uns fur den dafür auftretenden Verbrauch an elektrischer Energie and den erforderlichen Arbeitseinsatz. Der Energieverbrauch in KWh and der Arbeitseinsatz in Mannstunden je produzierter Gütereinheit seien durch Tab. 2.1 gegeben.

Aus der Geometrie sind wir mit der Figur des Parallelogramms vertraut. Für das Folgende können wir annehmen, daß das zu betrachtende Parallelogramm eine Ecke im Nullpunkt des zweidimensionalen Raumes hat. Aus Fig. 3.1 entnehmen wir sofort, daß dann das Parallelogramm durch die zwei Vektoren v und w vollständig bestinunt ist. Folglich ist auch sein Flächeninhalt durch v und w bestimmt, also eine Funktion V(v, w).

Wir haben uns in Abschnitt 2 eingehend mit linearen Gleichungssystemen befaßt und Lösbarkeitsbedingungen, Lösungsmengen und auch Lösungsverfahren kennengelernt. In Anwendungen treten nun sehr häufig auch lineare Ungleichungen der Form auf, z. B. auf Grund von Kapazitätsbeschränkungen oder von Mindestanforderungen im Rahmen von Produktionsproblemen. Da man jede dieser Ungleichungsformen durch Multiplikation mit (-1) in die andere überführen kann, genügt es, den Fall zu betrachten. Gegeben sei also das Ungleichungssystem .