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Erschienen in:
Morse Functions Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Linearization and Transversality

verfasst von : Michèle Audin, Mihai Damian

Erschienen in: Morse Theory and Floer Homology

Verlag: Springer London

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Abstract

We show that the spaces of solutions of the Floer equation connecting two periodic orbits is, after a perturbation of the Hamiltonian if necessary, a manifold of dimension the difference of the two indices. For this, we use the analogue of Sard’s theorem in infinite dimension. This requires the assumption that the tangent maps are Fredholm operators. We prove this and compute the index of these operators, which is the dimension of the space of solutions.

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Fußnoten
1
And we want to work with continuous functions in order to use the regularity and compactness results Proposition 6.5.3 and Theorem 6.5.4.
 
2
We therefore assume that p>2.
 
3
We have seen that there is one, because the loops x and y are contractible and our manifold satisfies Assumption 6.2.2.
 
4
Up to a factor 2: the usual \(\overline {\partial}\) is
$$\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial}{\partial s}+J_0\frac{\partial}{\partial t}\Bigr).$$
 
5
The derivation along X t is actually the derivation \(D_{X_{t}}\) given by the Levi-Cività connection; see Section A.5.
 
6
See [17, Chapter 2], if necessary.
 
7
Once again [17, Chapter 1], if necessary.
 
8
This time, [17, Chapter 4].
 
9
If necessary, see [17, Chapter 4] for this inequality:
$$\left \Vert f\star g\right \Vert _{L^p}\leq \left \Vert f\right \Vert _{L^1}\cdot \left \Vert g\right \Vert _{L^p}.$$
 
10
See [17, Chapter 9], if necessary.
 
11
See [17, Chapter 4], if necessary.
 
12
This variant of the mean value inequality is recalled in Proposition C.5.6.
 
Literatur
[13]
Bony, J.M.: Cours d’analyse. École polytechnique, Palaiseau (1994)
[16]
Bourgeois, F., Oancea, A.: Fredholm theory and transversality for the parametrized and for the S 1-invariant symplectic action. J. Eur. Math. Soc. 12(5), 1181–1229 (2010) MathSciNetMATH
[17]
Brezis, H.: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Universitext. Springer, New York (2011) MATH
[32]
Floer, A., Hofer, H., Salamon, D.: Transversality in elliptic Morse theory for the symplectic action. Duke Math. J. 80, 251–292 (1995) MathSciNetCrossRefMATH
[51]
McDuff, D., Salamon, D.: J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 52. Am. Math. Soc., Providence (2004) MATH
[66]
Salamon, D.: Lectures on Floer homology. In: Eliashberg, Y., Traynor, L. (eds.) Symplectic Topology. I.A.S./Park City Math. Series. Am. Math. Soc., Providence (1999)
[68]
[73]
Metadaten
Titel
Linearization and Transversality
verfasst von
Michèle Audin
Mihai Damian
Copyright-Jahr
2014
Verlag
Springer London
Buch
Morse Theory and Floer Homology

Print ISBN: 978-1-4471-5495-2

Electronic ISBN: 978-1-4471-5496-9

Copyright-Jahr: 2014

DOI
https://doi.org/10.1007/978-1-4471-5496-9_8