Versicherungsmathematik

Wir interessieren uns hier nicht für Gründe der Zinszahlungen, sondern nur für die Auswirkungen der Zinszahlbuchungen auf die Änderung des Kapitals. Zinstheorien werden in den Wirtschaftswissenschaften behandelt.

In der LV werden Leistungen fällig, wenn die versicherte Person gewisse, im voraus bestimmte Zeitpunkte erlebt (z. B. Leibrenten) oder wenn sie in einem Zeitintervall stirbt. Da zum Zeitpunkt des Abschlusses eines Vertrages in der Regel nicht bekannt ist, wie lange die versicherte Person noch leben wird (wenn man dies bei Vertragsabschluß weiß, dann handelt es sich nicht um eine Versicherung — warum?), müssen wir Annahmen über die den Ereignissen “A erlebt die Zeitpunkte t_l,t₂,...,t_n”, “A stirbt im Intervall [t_o,t₁,]” etc. zugeordneten Wahrscheinlichkeiten treffen. Das entsprechende Wahrscheinlichkeitsmaß erhalten wir aus einer Sterbetafel oder einem gegebenen Sterbegesetz.

In den vorigen Kapiteln haben wir die RisikoV mit fallender VS kennengelernt. Die Abbildung 14 zeigt den Verlauf der Netto-Deckungsrückstellung für eine solche V mit Beitrittsalter x = 35 und n = t = 10, VS = 10.000 DM.

Nach dem VVG (§§ 165–178) steht es dem VN frei, während der Laufzeit seiner Versicherung den Vertrag zu kündigen.

Jedes LVU mußte bis 1994 dem BAV gegenüber erklären, wie die Tarife gestaltet sind. Dies wurde in einem sog. Geschäftsplan festgelegt und vom BAV genehmigt. Die Gliederung eines solchen Geschäftsplans war durch das VAG vorgeschrieben.

Jeder Kaufmann möchte wissen, wie groß der Gewinn ist, den er in einer gewissen Periode mit seinem Unternehmen erwirtschaftete. Als Gewinn bezeichnet man die Differenz zwischen der Summe der Erträge und der Summe der Aufwendungen in dieser Periode. Falls diese Differenz positiv ist, spricht man von einem Gewinn, andernfalls bezeichnet man diese Differenz als Verlust. Bereits in dem Bilanzschema (4.6) haben wir gesehen, daß Gewinne bzw. Verluste ausgewiesen werden. Neben dem Eigeninteresse wird der Kaufmann aber auch durch einschlägige Gesetze zur Ermittlung seines Gewinns gedrängt.

Der Rechnungszins, mit dem die erwarteten zukünftigen Leistungen und künftigen Prämieneinnahmen diskontiert werden, ist für die einzelnen Wege der Alters- und Hinterbliebenenvorsorge unterschiedlich. Die Lebensversicherungsunternehmen rechnen natürlich auch hier mit einem Rechnungszins von 4%. Pensionskassen rechnen überwiegend mit einem Zins von 3,5%. Mit einem noch höheren Zins müssen die Betriebe rechnen, die ihren Arbeitnehmern direkt eine Pensionszusage gewähren und die Rückstellungen für diese Anwartschaften im Unternehmen reservieren. Sie müssen derzeit die Rückstellungen mindestens mit einem Zins von 6% rechnen; Betriebe in Österreich kalkulieren gar mit einem Zins von 8%.

Im Gegensatz zur Lebensversicherung haben wir es hier mit mehreren Ausscheidewahrscheinlichkeiten zu tun. Hatten wir dort lediglich das Risiko Tod zu berücksichtigen, so kommt hier als weitere Ausscheideursache noch das Risiko, berufsunfähig zu werden, hinzu In 2.1 werden wir das Modell erläutern, von dem wir ausgehen, in 2.2 wird die Sterbewahrscheinlichkeit und in 2.3 die Berufsunfähigkeitswahrscheinlichkeit näher untersucht.

Im weiteren gehen wir davon aus, daß wir partielle Ausscheidewahrscheinlichkeiten umgerechnet haben.

In I.3 haben wir das Äquivalenzprinzip als Axiom kennengelernt: Der Barwert der erwarteten Leistungen muß gleich dem Barwert der erwarteten Beiträge sein. Natürlich müssen auch bei den Pensionskassen die Beiträge so bemessen sein, daß aus ihnen die künftigen Leistungen finanziert werden können. Umgekehrt aber sollen die Beträge nicht so hoch angesetzt werden, daß die Pensionskasse hohe Gewinne erwirtschaftet. Das Äquivalenzprinzip wird deshalb hier häufig etwas modifiziert. Ist es für ein LVU notwendig, daß jeder VN seinen “erwarteten Schaden” selbst finanziert, d.h. seine Beiträge so bemessen sind, daß der Barwert der erwartetem Beiträge gleich dem erwarteten Schaden ist, so kann für die Pensionskassen dieses System modifiziert werden, daß der Barwert der gesamten Beiträge dem Barwert der gesamten Leistungen entspricht. Die Leistungs- und Beitragszahlungsdauer kann durchaus als unendlich angesehen werden. Möglich ist ein solch modifiziertes Finanzierungsverfahren natürlich nur dann, wenn ein Neuzugang auf Dauer garantiert ist. Dies ist stets dann der Fall, wenn die Mitgliedschaft in einem Versorgungswerk Bedingung zur Ausübung eines Berufes oder zur Arbeit in einem Betrieb ist. Im folgenden werden einige übliche Finanzierungsmethoden vorgestellt. Für weitere Ausführungen siehe [62] und [71].

Die Verwaltung von Pensionsversicherungsverträgen kostet selbstverständlich ebenso Geld wie die Verwaltung von Lebensversicherungsverträgen. Dennoch werden die Kosten unterschiedlich, je nach Versorgungseinrichtung, behandelt.

Schließt jemand einen KVvertrag ab, so erwartet er von seinem Vertragspartner, dem KVU, einen Ausgleich der wirtschaftlich nachteiligen Folgen künftiger Krankheiten, soweit gewisse Krankheiten nicht vertraglich ausgeschlossen sind. Zu den wirtschaftlich nachteiligen Folgen einer Krankheit zählen z.B. die Arzthonorare, Aufwendungen für die Heilbehandlung, Krankenhauskosten, Transportkosten zum Krankenhaus, aber auch der Verdienstausfall während der Krankheitsdauer.

In Abschnitt 1 lernten wir die Berechnung der Risikobeiträge. Ein KVU kann nun, abhängig vom Alter des VN, alljährlich neu die für das kommende Jahr notwendigen (Netto-) Beiträge ermitteln. Da die erwarteten Schäden mit zunehmendem Alter ebenfalls zunehmen, steigen mit dieser Kalkulation jährlich die Beiträge, wobei die Beiträge allein deshalb steigen, weil der VN älter wird. Berücksichtigt man ferner, daß die erwarteten Leistungen in den vergangenen Jahren stiegen (bedingt durch Inflation, häufigerer Inanspruchnahme der ärztlichen Leistungen, Verbesserung der medizinisch-technischen Ausstattung etc.), so führen die aus beiden Ursachen bedingten Anhebungen der jährlich fälligen Beiträge zu Belastungen für die VN, die insbesondere dann unerträglich werden können, wenn die Beitragsanpassungen besonders hoch ausfallen und das Einkommen der VN abnimmt (Rentenalter).

Werden alljährlich nur die Risikobeiträge, vermehrt um Sicherheits- und Kostenzuschläge, vereinnahmt, so können die Teile des Beitrags, die zum Ende eines Vjahres nicht für bereits gemeldete bzw. für die Schäden, deren Meldung noch erwartet wird, verbraucht sind, als Gewinn verbucht werden.

Ebenso wie die LVU müssen auch die KVU in regelmäßigen Abständen eine Bilanz und eine GVR aufstellen. Auch für KVU gelten die einschlägigen Regelungen des HGB sowie die Rechnungslegungsverordnung [106]. Die Besonderheiten der KVU werden berücksichtigt.

Beitragsanpassungen sind einerseits notwendig, wenn der auslösende Faktor eines Tarifs größer als 1.1 oder kleiner als 0.9 ist. Aber auch der VN kann eine Änderung des Vschutzes wünschen, was in den meisten Fällen eine Änderung der Beiträge zur Folge hat.

Seit dem Jahre 1985 wird sowohl von LVU als auch von KVU Vschutz angeboten für den Fall der Pflegebedürftigkeit. Eine versicherte Person ist ein Pflegefall, wenn einige der folgenden Tätigkeiten nicht oder nur mit Hilfe von anderen Personen oder nur mit Hilfe von Geräten ausgeführt werden können: