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Erschienen in:
2011 | OriginalPaper | Buchkapitel
Gesetze der großen Zahlen
verfasst von : Norbert Kusolitsch
Erschienen in: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
Verlag: Springer Vienna
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Oft lassen sich Aussagen über bestimmte Ereignisse machen ohne die Verteilung einer Zufallsvariablen
X
zu kennen, wenn man gewisse Kenngrößen dieser Zufallsvariablen bestimmen oder schätzen kann. So liefert etwa Ungleichung (13.14) bzw. (13.15) eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit der Abweichungen vom Mittelwert, wenn man den Erwartungswert
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWefv3ySLgznf % gDOjdaryqr1ngBPrginfgDObcv39gaiuaacqWFecFraaa!41CE!
$$ {\Bbb E} $$
X
und
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aa0 % baaSqaamXvP5wqonvsaeHbfv3ySLgzaGqbciab-HfaybqaaGqbaiab % +jdaYaaakiaacQdacqGH9aqptuuDJXwAK1uy0HMmaeXbfv3ySLgzG0 % uy0HgiuD3BaGGbaiab9ri8fnaabmaabaGae8hwaGLaeyOeI0Iae0hH % WxKae8hwaGfacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqGFYaGmaaaaaa!54CF!
$$ \sigma _X^2 : = {\Bbb E}\left( {X - {\Bbb E}X} \right)^2 $$
kennt. Ungleichung (13.15) besagt bspw. konkret, dass höchstens
% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagaart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSqaaSqaai % aaigdaaeaarmqr1ngBPrgitLxBI9gBaGqbciab-n7aNnaaCaaameqa % baWexLMBb50ujbqeguuDJXwAKbacgaGae4NmaidaaaaatCvAUfeBSn % 0BKvguHDwzZbqehiuy0fMBNbachaGccaqFQaGae4xmaeJae4hmaaJa % e4hmaaJae4xjaucaaa!4FDA!
$$ \tfrac{1} {{\gamma ^2 }}*100\% $$
der Ausgänge eines Experiments einen größeren Abstand als γ σ vom Erwartungswert haben.