Nichtlineare Finite-Element-Methoden

Die Anwendung der Finite-Element-Methode auf nichtlineare Problemstellungen hat in den letzten Jahren stark zugenommen, was nicht zuletzt durch die Entwicklung leistungsfähiger und preiswerter Hardware beeinflußt ist. Damit einhergehend, sind heute die Ansprüche des praktisch tätigen Ingenieurs angestiegen, der konstruktive Problemstellungen numerisch behandeln will, die früher häufig nur einer experimentellen Untersuchung zugänglich waren. Die mit der Methode der finiten Elemente behandelbaren Aufgab enst ellungen kommen aus ganz unterschiedlichen Bereichen wie der Strukturmechanik im Bauwesen, Flugzeug- und Schiffbau und Maschinenbau. Weiterhin werden Wärmeleitungsprobleme, elektrische und magnetische Feldberechnungen mit diesem Näherungsverfahren gelöst, sowie Simulationen aus dem Bereich der Fluidmechanik durchgeführt.

In der Festkörperrnechanik kann eine Vielzahl von unterschiedlichen Nichtlinearitäten auftreten, die sowohl geometrischer als auch physikalischer Natur sind. Die Behandlung der zugehörigen Aufgabenstellungen bedarf einer großen Bandbreite von Methoden, von denen ein Teil in den nachfolgenden Kapiteln dargestellt wird. Hier sollen zunächst anhand von einfachen Beispielen die wesentlichen Phänomene nichtlinearen Verhaltens aufgeführt werden, um den Leser in die Problematik einzuführen. Dabei wird bewußt von vereinfachten mechanischen Modellen ausgegangen, die gerade in der Lage sind, die gewünschte Form der Nichtlinearität zu repräsentieren. Die zugehörigen Lösungen können hier noch in analytischer Form angegeben werden. Dies ist aber für reale Problemstellungen aus dem Ingenieurwesen i.d.R. nicht möglich, so daß dann numerische Methoden zum Einsatz kommen müssen.

In diesem Kapitel wird eine kurze Zusammenfassung der kontinuumsmechanischen Grun dlagen für das Verhalten von Festkörpern gegeben, die Grundlage für die späteren Finite-Element-Formulierungen ist. Dies sind die kinematischen Beziehungen, die Bilanzsätze sowie die Materialgleichungen.

Innerhalb der Met hode der finiten Elemente finden verschiedene Approximationen statt. Zum einen wird das der Aufgabenstellung zugrunde liegende Gebiet durch die finiten Elemente angenähert, zum anderen werden die Feldgrößen — wie Verschiebungen, Spannungen, etc. — approximiert. Schließlich können auch häufig die auftretenden Integrale nicht mehr exakt bestimmt werden, was dann mittels numerischer Integration zu erfolgen hat und damit einen weiteren Fehler in die Berechnung einbringt.

Problemstellungen aus der Festkörperrnechanik führen i.d.R. auf nichtlineare partielle Differentialgleichungssysteme, die die zu lösenden Anfangsrandwertaufgaben beschreiben. Wählt man finite Elemente zur Ortsdiskretisierung des Randwertproblems, so entsteht ein System von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungenin der Zeit. Zunächst wollen wir uns auf zeitunabhängige Probleme beschränken, Dann wird aus dem System gewohnlicher Differentialgleichungen ein nichtlineares algebraisches Gleichungssystem s. (4.65), aus dem die unbekannten Variablen v ∈ ℝ^N zu bestimmen sind (N gibt hier die Anzahl der Unbekannten an). Urn für diese Gleichungen Lösungen zu gewinnen, sind im allgemeinen zwei unterschiedliche Aspekte zu betrachten. Dies sind

Bei der Behandlung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen, die die Bewegungen von Festkorpern unter äußeren Einwirkungen beschreiben, treten neben zeitunabhängigen Problemstellungen (Randwertproblemen) häufig auch Anwendungen auf, bei denen die zeitliche Änderung von Zustandsgrößen zu berücksichtigen sind (Anfangsrandwertprobleme). Nieht zu vernachlässigen sind z.B. bei Sehwingungsaufgaben die Trägheitsterme in der Impulsbilanz, s. (4.65) oder (4.100). Aueh zeitlich veranderliches (z. B. elastoplastisehes, viskoplastisehes oder viskoelastisehes ) Materialverhalten, das durch Evolutionsgleichungen besehrieben wird, führt auf Anfangsrandwertprobleme. In diesem Absehnitt wollen wir jetzt Verfahren zur Integration von Bewegungsgleiehungen und zur Integration inelastischer Materialgleichun gen vorstellen. Bevor wir damit beginnen, sollen jedoch noch einige grundlegende Bemerkungen zur Integration von algebraischen Differentialgleiehungssystemen erfolgen.

Reale Bauteile und Strukturen verhalten sich bei äußeren Einwirkungen mehr oder weniger nichtlinear. Gewisse Nichtlinearitäten sind mit dem Auftreten von einschneidenden Änderungen des Systemverhaltens verbunden. Zu diesen Effekten gehören z.B. das Ausbeulen von Kreiszylinderschalen, das Ausknicken bzw. Kippen von Trgern oder das Durchschlagen flacher Schalen. Die Punkte auf der Lastverschiebungskurve, an denen ein derartiges Verhalten auftritt, nennt man auch Instabilitätspunkte, da das Struktursystem dort seine Stabilität verliert, keine zusätzlichen Lasten mehr aufnehmen kann oder gar durch eintretenden Steifigkeit sverlust einstürzt. Die Berechnung von Instabilitätspunkten ist daher wesentlicher Aspekt nichtlinearer Strukturanalysen und es ist wichtig, für diese Untersuchungen geeignete und effiziente Verfahren zur Verfügung zu stellen.

Die Lösung von Problemen aus dem Bereich der Festkörperrnechanik mittels der Methode der finiten Elemente ist - bis auf wenige, ganz spezielle Fälle, wo die FE Ansätze auch Lösung der Differentialgleiehungen sind (z.B. Balken- oder Fachwerkelemente in der linearen Theorie) — immer fehlerbehaftet. Die Fehler setzen sich aus Diskretisierungsfehlern in Raum und Zeit als auch Geometriefehlern zusammen, die je nach Typ der Differentialgleichung untersehiedlich starken Einfluß besitzen.

Stäbe, Balken und Schalen gehören zu den wichtigsten Tragwerkselementen des Ingenieurs. Aus ihnen setzen sich Tragwerke des Bauingenieurwesens — wie Maste, Fachwerkkuppeln, Hallenrahmen oder Behälter — zusammen. Aber auch Autokarosserien, Roboter oder Flugzeugrümpfe aus dem Maschinen- und Flugzeugbau lassen sich durch diese Strukturelemente mathematisch abbilden. Die sichere Berechnung derartiger Tragwerke ist von großer technischer Bedeutung und befindet sich seit langem in einem ausgereiften Zustand für normgerechte Nachweise. Fur nichtlineare Berechnungen und Stabilitätsuntersuchungen wurden in der Vergangenheit unterschiedliche Näherungstheorien entwickelt, die relativ einfach und für viele praktische Zwecke ausreichend sind, siehe dazu auch die Einführung im Abschn. 2. 1. Durch die Entwicklung leistungsfähiger und preiswerter Computer-Hardware ist es heute möglich geworden, Berechnungen auf der Basis von vollständig nichtlinearen Theorien durchzuführen, die im Gegensatz zu Näherungstheorien keine Einschränkung im Anwendungsbereich besitzen.

Die Suche nach finiten Elementen, die in genereller Weise für beliebige Problemstellungen in der Festkörperrnechanik eingesetzt werden können, hat eine lange Geschichte, wie man an der graßen Zahl von Veröffentlichungen zu diesem Thema sieht. Hauptziel bei dieser Entwicklung ist es, möglichst alle Forderungen, die in der folgenden Aufzählung angegeben sind, mit einer Elementformulierung zu erfüllen.