Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Der Gegenstand dieses Buches ist die einheitliche, und, soweit als möglich und angebracht, mathematisch einwandfreie Darstellung der neuen Quantenmechanik, die im Laufe der letzten Jahre eine in ihren wesentlichen Teilen voraussichtlich definitive Form gewonnen hat: die sog. „Transformationstheorie“. Dabei soll das Hauptgewicht auf die allgemeinen und prinzipiellen Fragen, die im Zusammenhange mit dieser Theorie entstanden sind, gelegt werden. Insbesondere sollen die schwierigen und vielfach noch immer nicht restlos geklärten Interpretationsfragen näher untersucht werden. Besonders das Verhältnis der Quantenmechanik zur Statistik und zur klassischen statistischen Mechanik ist hierbei von Bedeutung. Von der Erörterung der Anwendungen der quantenmechanischen Methoden auf Einzelprobleme sowie einer Darlegung der einzelnen spezielleren, von der allgemeinen Theorie abgezweigten Theorien werden wir dagegen in der Regel absehen — wenigstens soweit dies ohne Gefahr für das Verständnis der allgemeinen Zusammenhänge möglich ist. Dies erscheint um so mehr geboten, als über diese Dinge mehrere ausgezeichnete Darstellungen existieren bzw. im Erscheinen sind¹.

Es ist hier nicht der Ort, auf die großen Erfolge hinzuweisen, die die Quantentheorie im Laufe der Periode 1900 bis 1925 errungen hat, einer Entwicklung, die durch die Namen Planck, Einstein und Bohr beherrscht ist⁵. Am Schluß dieses Entwicklungsganges stand es klar und so gut wie unbezweifelbar fest, daß alle Elementarprozesse, d. h. alles Geschehen in atomar-molekularer Größenordnung, durch die „diskontinuierlichen“ Gesetze der Quanten geregelt werden. Nach fast allen Richtungen lagen auch quantitative quantentheoretische Methoden vor, die meistens mit der Erfahrung gut oder leidlich übereinstimmende Ergebnisse lieferten. Und was prinzipiell von großer Bedeutung war: die Gedankenwelt der theoretisch-physikalischen Forschung hatte die Idee rezipiert, daß das in der wahrgenommenen makroskopischen Welt herrschende Prinzip der Kontinuität („natura non facit saltus“) bloß durch einen Mittelungsprozeß in der ihrem Wesen nach diskontinuierlichen Welt vorgetäuscht wird — dadurch, daß der Mensch meistens nur die Summe vieler Quadrillionen von Elementarprozessen auf einmal apper-zipiert, so daß das alles nivellierende Gesetz der großen Zahlen die wahre Natur der einzelnen Prozesse völlig verschleiert.

Wir haben das am Schluß von I. 4. aufgestellte Programm durchzuführen: Den H. R., der die mathematische Basis zur Behandlung der Quantenmechanik abgibt, so zu charakterisieren, daß dabei keine anderen Begriffe Verwendung finden als diejenigen, die nachher in der Quantenmechanik gebraucht werden, und die demgemäß im „diskreten“ FunktionenraumeF_z der Folgen x _v (v = 1, 2,…) genau so Sinn haben wie im „kontinuierlichen“ FΩ der Wellenfunktionen ϕ(q₁…q_k) (q₁,…,q_k durchlaufen den Zustandsraum Ω).

Kehren wir zur Analyse der quantenmechanischen Theorien zurück, die wir durch die mathematischen Ausführungen des II. Teiles unterbrochen hatten. Dort wurde nur erörtert, wie die Quantenmechanik die Bestimmung aller möglichen Werte einer bestimmten physikalischen Größe, der Energie, ermöglicht — es sind die Eigenwerte des Energieoperators H (d. h. die Zahlen seines Spektrums). Unerörtert blieb dagegen, was sie über die Werte anderer Größen sowie über die kausalen oder statistischen Zusammenhänge zwischen den Werten mehrerer Größen auszusagen vermag. Die diesbezüglichen Aussagen der Theorie sollen nun ins Auge gefaßt werden. Bei dieser Gelegenheit legen wir die wellenmechanische Beschreibungsweise zugrunde — die Gleichwertigkeit beider Theorien ist ja gesichert.

Im Teil III. gelang es uns, alle Aussagen der Quantenmechanik auf die statistische Formel (sie hieß E ₂ .)

(Erw (ℜ, ϕ) ist der Erwartungswert der Größe ℜ im Zustande ϕ, R ist der Operator von ℜ) zurückzuführen. Im folgenden soll gezeigt werden, wie diese Formel selbst auf Grund einiger allgemeiner qualitativer Annahmen hergeleitet werden kann, und gleichzeitig wird der ganze in III. durchgeführte Aufbau der Quantenmechanik auf sie noch einmal überprüft werden. Ehe wir aber dies tun, ist noch eine Bemerkung vonnöten.

Was mit einem Gemisch mit dem statistischen Operator U geschieht, wenn eine Größe ℜ mit dem Operator R in ihm gemessen wird (d. h. an jedem Element dieser Gesamtheit, derart, daß nachher die durch die Messung hindurchgegangenen Einzelsysteme wieder alle zu einer Gesamtheit zusammengefaßt werden), können wir voraussagen — soweit diese Frage überhaupt eine eindeutige Antwort zuläßt.

Wir haben durch die bisherigen Erörterungen das Verhältnis der Quantenmechanik zu den verschiedenen kausalen und statistischen Methoden der Naturbeschreibung erörtert, dabei aber eine eigenartige Duplizität ihres Vorgehens gefunden, die nicht genügend erklärt werden konnte. Wir fanden nämlich, daß einerseits ein Zustand ϕ sich unter dem Einfluß eines Energieoperators H im Zeitintervall 0 ≤ τ ≥ t folgendermaßen in den Zustand ϕ′ verwandelt: d. h.: also rein kausal. Ein Gemisch U verwandelt sich entsprechend in \(U' = e^{ - \frac{{2\pi i}} {h}t\text{H}} Ue^{\frac{{2\pi i}} {h}t\text{H}} ,\), gemäß der kausalen Veränderung von ϕ in ϕ′ gehen dabei Zustände \( U = P_{\left[ \varphi \right]} \) in Zustände \( U' = P_{\left[ {\varphi '} \right]} \) über (Prozeß 2. in V.I.).