Grundlagen des Leichtbaus

Soll eine neue Struktur, die eine vorgegebene Aufgabe unter einwirkenden Lasten (Kräften, Momenten, Temperaturen usw.) zu erfüllen hat, entwickelt werden, so wird zunächst der Konstrukteur aus seiner Erfahrung gepaart mit Phantasie und Inspiration den ersten Schritt (nämlich von Null auf Eins) machen und eine Struktur zeichnerisch darstellen, die die an sie gestellten Anforderungen wahrscheinlich erfüllen kann. Im zweiten Schritt (von Eins auf Zwei), muß das Tragverhalten der Konstruktion analysiert werden. Wegen der im allgemeinen hohen Komplexität muß die letztere bereits zu diesem Zeitpunkt in ein idealisiertes Ersatzsystem (siehe Abb. 1 — 1) überführt werden, auf das dann mehr oder weniger genaue Analysewerkzeuge angewandt werden können. Die Genauigkeit der Idealisierung ebenso wie die der verwendeten Analysewerkzeuge sollte abgestimmt sein und beeinflußt Kosten und Sicherheitszuschläge. Je genauer und damit kostenaufwendiger die Analyse, um so geringer die Sicherheitszuschläge und damit um so leichter die Struktur.

Im folgenden werden die Grundlagen der linearen Elastizitätstheorie kurz dargelegt, ihre Grundgleichungen auch in Matrix- und Index-Schreibweise angeschrieben und die Differentialgleichungen für den zweidimensionalen Fall unter Vernachlässigung der Volumenkräfte nach der Kraft- und nach der Deformationsmethode abgeleitet; zudem wird die St. Venantsche Torsionstheorie für zylindrische Vollquerschitte behandelt.

Reale Bauwerke und Konstruktionen unterliegen Einwirkungen von äußeren Lasten. Um die ersteren dimensionieren zu können, muß man ein Ersatzsystem schaffen, das der Berechnung zugänglich ist. Man idealisiert daher die Konstruktion in verschiedenartige Bauelemente, die einzeln und als Summe (z.B. Stab und Stabwerk usw.) eine zudem idealisierte Berechnung ermöglichen.

Im folgenden Kapitel werden die grundlegenden Energie thEorEme der Elasto- Mechanik sowie ihre wichtigsten Varianten abgeleitet. Diese Theoreme, die z.B. zur Bestimmung des Steifigkeits- bzw. Nachgiebigkeitsverhaltens usw. herangezogen werden, bilden die Grundlage vieler Berechnungs ver fahren der modernen Statik. Ihr entscheidender Vorteil gegenüber Differentialgleichungen sind die vielfältigen Lösungsverfahren der Variantionsrechnung, die zu ihrer Behandlung angewendet werden können, z.B. Finite Element Methode (FEM), Galerkin — Verfahren usw. Sie gestatten zudem „Rechnungen von Hand“ an relativ komplizierten stabförmigen Tragwerken, ausgehend von einer Grundlösung, durchzuführen.

Am Beispiel eines zivilen Verkehrsflugzeugs soll die Auslegung von Leichtbaustrukturen erläutert werden. Die für Flugzeuge geltenden gesetzlichen Anforderungen sind dabei in allgemeinen Bauvorschriften festgelegt, deren Erfüllung rechnerisch und/oder experimentell durch Versuche nachzuweisen ist.

Unabdingbare Voraussetzung für die Ermittlung von Spannungen und Verformungen ist die geometrische Beschreibung der zu untersuchenden Querschnitte. Die Rechnungen lassen sich prinzipiell in jedem beliebigen Koordinatensystem (KOS) durführen. In der Regel verwendet man dabei ein rechtwinkliges Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y und z. Der Rechenaufwand läßt sich dadurch reduzieren, daß man ausgezeichnete Koordinatensysteme (Schwerpunkt- und Hauptachsen-Koordinatensystem) benutzt. Zur Beschreibung eines Querschnitts teilt man ihn sinnvoll in Abschnitte i ein und legt lokale Laufvariable (s _i ,n _i ) fest, in deren Abhängigkeit man die anderen Abschnitte beschreibt. Wichtige Punkte des Querschnitts sind der Flächenschwerpunkt SP und der Schubmittelpunkt SM (offener Querschnitt) bzw. SM _g (geschlossener Querschnitt). Eine weitere, für die Beschreibung sich verwölbender Querschnitte wichtige Koordinate, ist die Wölbkoordinate w Sie ist stets auf einen Pol P bezogen.

Dieser Ubungsteil behandelt die Berechnung der Biegelinie und der Normal- und Schubflußverteilung in Stäben bei Momenten- und Querkraftbelastung nach der EBT. Die theoretischen Grundlagen behandelt Kapitel 3.3.1 des Theorieteils ausführlich.

Dieses Übungskapitel behandelt die Torsion dünnwandiger, stabförmiger offener und geschlossener Profile unter Berücksichtigung von Wölbbehinderungen. Im Gegensatz zur reinen St.-Venantschen Torsion, bei der vorausgesetzt wurde, daß sich der Profilquerschnitt frei verwölben kann, sollen jetzt lokale Wölbbehinderungen, z.B. in der Einspannung, zugelassen werden. Zunächst werden die wesentlichen Voraussetzungen der Wölbkrafttorsion zusammengefaßt und die grundlegenden Gleichungen angeschrieben. Anschließend wird an ausgesuchten Übungsbeispielen gezeigt werden, wie sich diese Grundgleichungen der Wölbkrafttorsion anwenden und lösen lassen.

Energietheoreme wie z.B. das PVV oder das PVK beschreiben die Randwertprobleme der Elastostatik in gleicher Weise, wie dies z.B. mit Hilfe der Differentialgleichungen möglich ist.