Grenzschicht-Theorie

Für die theoretischen Untersuchungen der Strömungsmechanik wurde im vorigen Jahrhundert meist das ideale, d.h. viskositätsfreie, inkompressible Fluid zugrunde gelegt. Erst seit diesem Jahrhundert wird der Einfluß der Viskosität und der Kompressibilität in stärkerem Maße berücksichtigt. Bei der Strömung eines viskositätsfreien Fluids treten zwischen angrenzenden Schichten keine Tangentialkräfte (Schubspannungen), sondern nur Normalkräfte (Drücke) auf. Dies ist gleichbedeutend damit, daß das ideale Fluid einer Formänderung keinen inneren Widerstand entgegensetzt. Die Theorie der Strömungen idealer Fluide ist mathematisch sehr weit entwickelt und liefert in vielen Fällen auch eine befriedigende Beschreibung für die wirklichen Strömungen, wie z.B. bei der Wellenbewegung oder der Bildung von Flüssigkeitsstrahlen. Dagegen versagt die Theorie der idealen Fluide völlig bei dem Problem der Berechnung des Strömungswiderstandes eines Körpers. Sie liefert hier die Aussage, daß ein Körper, der sich mit Unterschallgeschwindigkeit gleichförmig durch ein unendlich ausgedehntes Fluid bewegt, keinen Widerstand erfährt (D’Alembertsches Paradoxon).

In vielen technischen Anwendungen treten wegen der geringen ViskositätsWerte Strömungen mit sehr hohen Reynolds-Zahlen auf. Wie in den Beispielen des vorigen Kapitels gezeigt wurde, stellt daher die Grenzlösung Re = ∞ eine gute Näherung dar. Ein schwerwiegender Mangel dieser Grenzlösung ist jedoch, daß sie die Haftbedingung nicht erfüllt, d.h. bei ihr sind die Geschwindigkeiten an der Wand nicht null, sondern endlich. Die Viskosität muß daher berücksichtigt werden, um die Haftbedingung erfüllen zu können. Sie sorgt für den Übergang der Geschwindigkeit vom endlichen Wert der Grenzlösung in Wandnähe zum Wert null direkt an der Wand. Dieser Übergang erfolgt bei großen Reynolds-Zahlen in einer dünnen wandnahen Schicht, die nach L. Prandtl (1904) als Grenzschicht oder auch Reibungsschicht bezeichnet wird. Wie noch gezeigt wird, ist die Dicke der Grenzschicht um so geringer, je größer die Reynolds-Zahl, d.h. je kleiner die Viskosität ist.

Es sollen jetzt die Bewegungsgleichungen eines allgemeinen (Newtonschen) Fluids aufgestellt werden. Dabei wird das Fluid als ein Kontinuum angesehen. In einem Kontinuum ist das kleinste betrachtete Volumenelement dV noch immer homogen, d.h. die Abmessungen von dV sind noch sehr groß gegenüber dem mittleren Molekülabstand im Fluid. Bei Gasen ist die Annahme eines Kontinuums erfüllt, wenn die Knudsen-Zahl Kn = ℓ ₀ /l sehr klein ist, wobei ℓ ₀ die mittlere freie Weglänge und l eine charakteristische Länge des Strömungsfeldes sind, siehe dazu S.A. Schaaf (1958).

Bevor im nächsten Kapitel auf Lösungen der Bewegungsgleichungen eingegangen wird, sollen zunächst einige allgemeine Eigenschaften dieser Gleichungen besprochen werden.

Die Aufgabe, exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen zu finden, bereitet im allgemeinen erhebliche Schwierigkeiten. Dies liegt vor allem an der Nichtlinearität dieser Gleichungen, welche verbietet, das Superpositionsprinzip zu verwenden, das bei den reibungslosen inkompressiblen Potentialströmungen so gute Dienste leistet. Trotzdem kann man in einigen Spezialfällen exakte Lösungen angeben, und zwar vor allem dann, wenn die nichtlinearen Trägheitsglieder von selbst verschwinden.

Nunmehr sollen Strömungen bei sehr kleiner Viskosität oder bei sehr großen Reynolds-Zahlen behandelt werden. Ein bedeutsamer Vorstoß in der Behandlung der Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen ist 1904 von L. Prandtl (1904) erzielt worden. Prandtl zeigte, in welcher Weise für große Reynolds-Zahlen die Viskosität wesentlich ist und wie man die Navier-Stokesschen Differentialgleichungen vereinfachen kann, um Näherungslösungen für diesen Grenzfall zu erhalten. Die Vereinfachungen, die sich im Fall sehr kleiner Reibungskräfte in den Navier-Stokesschen Gleichungen ergeben, sollen auf einem physikalisch anschaulichen Wege hergeleitet werden.

Bevor im nächsten Kapitel weitere Beispiele der Berechnung von Grenzschichten behandelt werden, mögen zunächst einige allgemeine Eigenschaften der Grenzschichtgleichungen besprochen werden. Wir wollen uns dabei auf stationäre, zweidimensionale, inkompressible Grenzschichten beschränken.

Die bisherigen Betrachtungen über Grenzschichtströmungen bezogen sich nur auf das Geschwindigkeitsfeld. Jetzt sollen entsprechende Überlegungen für das Temperaturfeld hinzukommen. Dazu wird angenommen, daß über die begrenzenden Wände Wärme dem Strömungsfeld zugeführt wird, so daß sich neben dem Geschwindigkeitsfeld auch ein Temperaturfeld ausbildet. Wie sich herausstellen wird, besitzt bei großen Reynolds-Zahlen auch das Temperaturfeld Grenzschicht-Charakter, d.h. auch das Temperaturfeld läßt sich bei großen Reynolds-Zahlen in zwei Gebiete einteilen, wobei im wandnahen Gebiet die Wärmeleitfähigkeit λ eine Rolle spielt, im restlichen Gebiet jedoch vernachlässigt werden kann. Liegt neben dem Geschwindigkeitsfeld auch ein Temperaturfeld vor, kommt es im allgemeinen zu einer gegenseitigen Kopplung zwischen diesen beiden Feldern.

Bei der bisherigen Behandlung der Temperaturgrenzschichten war das Geschwindigkeitsfeld vom Temperaturfeld unabhängig, weil konstante Stoffwerte vorausgesetzt worden waren. In diesem Kapitel soll nun der Einfluß variabler Stoffwerte untersucht werden. Bei den Stoffwerten handelt es sich um die Dichte ϱ, die Viskosität µ, die isobare spezifische Wärmekapazität c _p und die Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall können sie von der Temperatur und vom Druck abhängen. Infolge der Abhängigkeit der Dichte und der Viskosität von der Temperatur kommt es zu einer direkten Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld. Die Temperaturabhängigkeit der Dichte führt außerdem zu zusätzlichen, in der Impulsgleichung erscheinenden Auftriebskräften im Schwerkraftfeld. Diese Auftriebskräfte allein können bereits Strömungen erzeugen. Diese werden natürliche Konvektion (auch freie Konvektion) genannt. Treten bei der erzwungenen Konvektion, wie sie im vorigen Kapitel behandelt worden ist, noch die Auftriebskräfte infolge der Schwerkraft hinzu, spricht man von gemischter Konvektion.

Aus den bisherigen Betrachtungen der Grenzschichtströmungen geht hervor, daß die Randbedingungen, d.h. die Verteilungen der Außengeschwindigkeit U(x) bzw. u _e(x)und der Wandtemperatur T _w(x) bzw. der Wand-wärmestromdichte q _w(x),das Verhalten der Grenzschichten bestimmen. So hatte sich beispielsweise herausgestellt, daß die Lage des Ablösungspunktes entscheidend davon abhängt, wie stark die Geschwindigkeit der Außenströmung verzögert wird. Ferner wurde im vorigen Kapitel gezeigt, daß bei temperaturabhängigen Stoffwerten Kühlen bzw. Heizen die Lage des Ablösungspunktes beeinflussen.

In den bisherigen Kapiteln war die Berechnung von Grenzschichten auf den ebenen Fall beschränkt, bei dem die beiden Geschwindigkeitskomponenten nur von zwei Koordinaten abhängig sind. Dabei war dann in Richtung der dritten räumlichen Koordinate keine Geschwindigkeitskomponente vorhanden.

Die bisher behandelten Beispiele von Lösungen der Grenzschichtgleichungen sind solche für stationäre Strömungen. Obgleich diese bei den praktischen Anwendungen bei weitem am wichtigsten sind, sollen in diesem Kapitel auch einige Fälle von zeitlich veränderlichen, also instationären Grenzschichten behandelt werden.

In den voranstehenden Kapiteln ist bereits verschiedentlich auf Grenzschichteffekte höherer Ordnung hingewiesen worden. Dabei handelt es sich um Effekte, die in den bisher verwendeten Grenzschichtgleichungen nicht berücksichtigt wurden und die jetzt durch eine Erweiterung der Prandtlschen Grenzschichttheorie zu einer Grenzschichttheorie höherer Ordnung erfaßt werden sollen. Mit dieser Erweiterung gewinnt man gleichzeitig auch Aussagen über den Gültigkeitsbereich der Prandtlschen Grenzschichttheorie.

Wirkliche Strömungen weichen in vielen Fällen von den in den vorstehenden Kapiteln behandelten laminaren Strömungen erheblich ab. Sie weisen ein besonderes Kennzeichen auf, das man als Turbulenz bezeichnet. Sowohl die Strömungen durch Rohrleitungen und Kanäle als auch die in den Grenzschichten umströmter Körper zeigen bei Steigerung der Reynolds-Zahl eine auffällige Änderung von der laminaren in die turbulente Strömungsform. Dieser Übergang der laminaren Strömung in die turbulente, auch Transition oder Entstehung der Turbulenz genannt, ist für die gesamte Strömungsmechanik von fundamentaler Bedeutung.

Sehr viele technisch wichtige Strömungen sind turbulent. Man versteht darunter, daß der Hauptbewegung eine unregelmäßige Schwankungsbewegung (Mischbewegung) überlagert ist. Zur Veranschaulichung sind in Bild 16.1 a, b, c, d einige Strömungsphotographien der turbulenten Strömung in einem Wassergerinne wiedergegeben. Dabei wurde die Strömung durch ein auf die Wasseroberfläche aufgestreutes Pulver sichtbar gemacht. Die Strömungsgeschwindigkeit ist auf allen vier Bildern die gleiche, während die Kamera sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten längs der Kanalachse bewegt. Aus den Bildern läßt sich in einfacher Weise ablesen, ob die Längsgeschwindigkeit der Fluidteilchen größer oder kleiner als die der Kamera ist. Die Bilder geben einen eindrucksvollen Begriff von der Kompliziertheit turbulenter Strömungen.

Die ausgebildete Couette-Strömung ist eine einfache Scherströmung, bei der überall im Strömungsfeld die Schubspannung einen konstanten Wert hat. Mit Absicht soll im folgenden die turbulente Couette-Strömung besonders ausführlich behandelt werden, da sie über das spezielle Strömungsbeispiel hinaus ganz allgemein für turbulente Strömungen in Wandnähe eine fundamentale Rolle spielt. Wie sich herausstellen wird, haben die wandnahen Strömungsbereiche der turbulenten Couette-Strömung universelle Bedeutung, so daß unter noch zu präzisierende Bedingungen die Ergebnisse auf die wandnahen Bereiche allgemeiner turbulenter Strömungen übertragen werden können.

In diesem Kapitel werden turbulente ebene Strömungen mit konstanten Stoffwerten betrachtet. Wie bereits in Kap. 16.6 erläutert wurde, besitzen auch die turbulenten Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen Grenzschichtcharakter, d.h. das gesamte Strömungsfeld besteht aus der reibungslosen Außenströmung und der wandnahen, dünnen turbulenten Grenzschicht. Für diese gelten die Grenzschichtgleichungen (16.34) bis (16.36). Diese Gleichungen bilden jedoch noch kein geschlossenes System. Für das sog. Schließungsproblem wird ein Turbulenz-Modell benötigt, das zusätzliche Gleichungen bereitstellt, um die turbulente Schubspannung τ _t (und die turbulente Wärmestromdichte q _t ) mit der mittleren Bewegung (bzw. mit dem mittleren Temperaturfeld) in Verbindung zu bringen.

Wie im Kap. 10.1 für laminare Grenzschichten dargelegt wurde, kommt es zu einer Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld, wenn die Stoffwerte nicht mehr konstant sind, sondern von der Temperatur abhängen. Bei den Stoffwerten handelt es sich um die Dichte ϱ, die Viskosität μ, die isobare spezifische Wärmekapazität c _p und die Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall können sie von der Temperatur und dem Druck abhängen.

Im Kap. 12 sind axialsymmetrische und dreidimensionale laminare Grenzschichten behandelt worden. Die dort angegebenen Grenzschichtgleichungen gelten auch für turbulente Grenzschichten, wenn die Reibungsglieder um die entsprechenden Glieder der turbulenten Scheinreibung erweitert werden. Damit tritt gegenüber Kap. 12 das zusätzliche Problem der Turbulenzmodellierung auf.

Numerische Lösungen der Grenzschichtgleichungen basieren auf der Annahme, daß die Differentialausdrücke in den beschreibenden partiellen Differentialgleichungen durch Differenzenausdrücke approximiert werden können. Diese Näherung, die als Diskretisierung bezeichnet wird, kann aus Reihenentwicklungen für die Geschwindigkeitskomponenten in den Koordinatenrichtungen gewonnen werden. Da in den Entwicklungen, die nicht unbedingt aus Taylor-Reihen bestehen müssen, nur eine bestimmte Anzahl von Termen mitgeführt werden kann, ergibt sich ein Diskretisierungsfehler, der von der Anzahl und Größe der vernachlässigten Terme abhängt.