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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

16. Berechnung spezieller gewichtsloser Spannungstensorfelder

verfasst von : Peter Halfar

Erschienen in: Spannungen in Gletschern

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Es wird ein „gewichtsloses Spannungstensorfeld“ vorgestellt, das vorgegebene Randspannungen erzeugt. Für den Fall, dass die Randfläche, auf der diese Randspannungen vorgegeben sind, nicht einfach zusammenhängend ist, wird ein weiteres „gewichtsloses Spannungstensorfeld“ vorgestellt, das auf den zusammenhängenden Randflächen, auf denen keine Randspannungen vorgegeben sind, die Kräfte und Drehmomente erzeugt, die in der allgemeinen Lösung als Parameter auftreten. Die Überlagerung dieser beiden Spannungstensorfelder erzeugt sowohl diese Kräfte und Drehmomente als auch die vorgegebenen Randspannungen.

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Fußnoten
1
S. Abschn. 7.​1.
 
2
Die Addition von Gradientenausdrücken führt wieder auf Lösungen der Differentialgleichungen (15.​69) und (15.​70).
 
3
Diese Fortsetzungen entlang der Strahlen dürfen nur in einer Umgebung der Randfläche \(\Upsigma\) stattfinden, die so klein ist, dass sich dort verschiedene Strahlen nicht schneiden können.
 
4
Diese Ableitung in z-Richtung lässt sich aus Ableitungen des Matrixfeldes \(\mathbf{A}_{\ast}\) entlang der Randfläche \(\Upsigma\) und aus der Normalableitung berechnen. Man erhält diese Form der z-Ableitung, indem man die Darstellung (15.​23) des Gradientenoperators von links mit \(\mathbf{e}_{z}^{T}\) multipliziert.
 
5
S. Abschn. 7.​1.
 
6
Solche Vektorfelder \(\mathbf{w}_{\mu}\) werden unten angegeben.
 
7
Die unten konstruierten Vektorfelder \(\mathbf{w}_{\mu}\) sind im gesamten Raum definiert. Jedes Tensorfeld \(\mathbf{A}_{\mu}\) erzeugt durch sein gewichtsloses Spannungstensorfeld auf der Fläche \(\Uplambda_{\mu}\) eine Kraft \(\mathbf{F}_{\mu}\) und ein Drehmoment \(\mathbf{G}_{\mu}\), auf der Fläche \(\Uplambda_{0}\) eine Kraft \(-\mathbf{F}_{\mu}\) und ein Drehmoment \(-\mathbf{G}_{\mu}\) und auf dem übrigen Teil der geschlossenen Berandung \(\partial\Upomega\) – also auf den anderen Flächen \(\Uplambda_{\nu}\) sowie auf der Fläche \(\Upsigma\) – keine Randspannungen und damit auch keine Kräfte und Drehmomente.
 
8
Die Winkelkoordinate ϕ und andere Größen in den Gleichungen (16.23)–(16.31) sind unterschiedlich für die verschiedenen Flächen \(\Uplambda_{\mu}\). Man muss sich also den Index „μ“ hinzudenken, der in den Formeln weggelassen wird, damit sie nicht zu schwerfällig werden. Es bezeichnen \(\mathbf{a}\) den Einheitsvektor in Achsrichtung, \(\mathbf{\hat{r}}\) den Vektor vom Koordinatenursprung zu einem Punkt auf der Drehachse, \(\mathbf{R}\) den Vektor von der Achse und senkrecht zu dieser bis zu dem betrachteten Punkt, \(\mathbf{r}\) den Vektor vom Koordinatenursprung zu dem betrachteten Punkt und R den Abstand des betrachteten Punktes von der Drehachse.
 
9
Die Singularität tritt auf der Linie auf, in welche die Drehachse durch Umkehrabbildung übergeht.
 
Metadaten
Titel
Berechnung spezieller gewichtsloser Spannungstensorfelder
verfasst von
Peter Halfar
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Spannungen in Gletschern

Print ISBN: 978-3-662-48021-2

Electronic ISBN: 978-3-662-48022-9

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_16