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2016 | OriginalPaper | Buchkapitel

8. Die allgemeine Lösung der Balance- und Randbedingungen

verfasst von : Peter Halfar

Erschienen in: Spannungen in Gletschern

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die allgemeine Lösung der Balance- und Randbedingungen kann als Summe aus einer speziellen Lösung der Balancebedingungen und aus der allgemeinen „gewichtslosen Lösung“ der Balance- und Randbedingungen für „gewichtslose Spannungstensorfelder“ aufgebaut werden. Damit ist die allgemeine Lösung bekannt, da sowohl spezielle Lösungen der Balancebedingungen als auch die allgemeine „gewichtslose Lösung“ bekannt sind. Besteht die Randfläche bekannter Randspannungen nur aus der einfach zusammenhängenden freien Oberfläche, was bei Landgletschern in der Regel der Fall ist, dann lässt sich die allgemeine Lösung aus drei ausgewählten Komponenten des Spannungstensors oder des deviatorischen Spannungstensors gewinnen, die im Rahmen der allgemeinen Lösung als beliebige Funktionen genommen werden können.

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Fußnoten
1
Das ist gemäß (6.​9) die allgemeine Form gewichtsloser Spannungstensorfelder.
 
2
Beispielsweise sind \(\mathbf{S}_{b}\) (5.​4) oder \(\mathbf{S}_{e}\) (5.​13) solche Spannungstensorfelder.
 
3
S. Abb. Abb.​ 7.​1c,d.
 
4
Als Lösung \(\mathbf{S}_{\text{bal}}\) der Balancebedingungen (2.​18), (2.​19) kann man beispielsweise eines der Spannungstensorfelder \(\mathbf{S}_{b}\) (5.​4) oder \(\mathbf{S}_{e}\) (5.​13) verwenden.
 
5
Die Berechnung von \(\mathbf{A}_{\ast}\) und \(\mathbf{T}_{\ast}\) wird in Abschn. 16.​1 beschrieben. Die in (8.1) auftretenden symmetrisierten zweimaligen Rotationen von Matrixfeldern sind gemäß (13.​18) identisch mit den zweimaligen Rotationen der symmetrisierten Matrixfelder.
 
6
Die Berechnung von \(\mathbf{A}_{\ast\ast}\) und \(\mathbf{T}_{\ast\ast}\) erfolgt in Abschn. 16.​2.
 
7
Man kann sich in (8.1) auf symmetrische Matrixfelder \(\mathbf{A}_{0}\) beschränken, da ihre antisymmetrischen Bestandteile keine Beiträge zu \(\mathbf{T}_{0}\) liefern.
 
8
Die möglichen Normierungen und ihre Voraussetzungen werden in Abschn. 7.​4 dargelegt.
 
9
Die beliebigen Variationen von Matrixfeldern \(\mathbf{A}_{0}\) stehen definitionsgemäß unter der Einschränkung, dass alle Matrixfelder \(\mathbf{A}_{0}\) zusammen mit ihren ersten Ableitungen auf der Randfläche \(\Upsigma\) gegebener Randspannungen verschwinden. Dabei kann man sich auf normierte Variationen beschränken, wenn die entsprechenden Normierungsvoraussetzungen erfüllt sind.
 
10
Wie bereits erwähnt, ist die Auswahl einer realistischen Lösung nicht mehr Gegenstand dieser allgemeinen Untersuchung. Eine solche Auswahl kann nur von Fall zu Fall erfolgen und erfordert spezielle, vor Ort erhobene Daten.
 
11
S. Abschn. 7.​4.
 
12
S. Ziff. 4, Abschn. 8.1.
 
13
Der Index „0“ bedeutet, dass sich \(\mathbf{T}_{0}\) aus einer Spannungsfunktion \(\mathbf{A}_{0}\) gewinnen lässt, die zusammen mit ihren ersten Ableitungen an der freien Oberfläche \(\Upsigma\) verschwindet. Somit verschwinden die Randspannungen von \(\mathbf{T}_{0}\) an der freien Oberfläche \(\Upsigma\). Gemäß Voraussetzung ist \(\mathbf{A}_{0}\) normiert.
 
14
Dazu geht man von irgend einer speziellen Lösung \(\mathbf{S}_{\text{spez}}\) aus und subtrahiert eine gewichtslose Lösung \(\mathbf{T}_{0}\), für deren unabhängige Spannungskomponenten man die entsprechenden Komponenten von \(\mathbf{S}_{\text{spez}}\) einsetzt.
 
15
Das gilt wegen der Relation (8.6) auch für unabhängige deviatorische Komponenten.
 
16
Solche Matrix-Differentialgleichungen und Verfahren zu ihrer Lösung werden im Abschn. 3.​4 diskutiert. Die in dieser Abhandlung auftretenden Differentialgleichungen und ihre Lösungen werden in Kap. 17 angegeben.
 
17
Eine Analyse sämtlicher Kombinationsmöglichkeiten von jeweils drei unabhängigen Spannungskomponenten wird in Kap. 17 durchgeführt.
 
18
\(\mathbf{S}_{\ast}\) und \(\mathbf{T}_{0}\) werden in Kap. 17 für jede der Kombinationen „a“ bis „h“ angegeben.
 
19
S. Kap. 17.
 
20
Die Formelnummern für \(\mathbf{S}_{\ast}\) und \(\mathbf{T}_{0}\) sind in Tab. 8.1 genannt.
 
21
S. die Formeln für \(\mathbf{A}_{0}\), für \(\mathbf{T}_{0}\) und für \(\mathbf{S}_{\ast}=\mathbf{S}_{a}\) bis \(\mathbf{S}_{\ast}=\mathbf{S}_{h}\) in den Abschn. 17.​1 bis 17.​8.
 
22
S. Abschn. 3.​2, Formeln (3.​21)–(3.​27).
 
23
S. Abschn. 3.​4.​3.
 
24
S. die Definition von „quer und synchron“ in Abschn. 3.​4.​1. Die Modellkegel sind für jedes der Modelle „a“ bis „h“ sowohl in Tab. 8.1 als auch in den Abschn. 17.​1 bis 17.​8 angegeben.
 
25
Diese beiden Alternativen schließen sich gegenseitig aus. Die freie Oberfläche \(\Upsigma\) kann nicht sowohl zum Modellkegel \(K^{\prime}_{yxz}\) als auch zum Modellkegel \(K^{\prime\prime}_{yxz}\) quer und synchron sein, da \(K^{\prime}_{yxz}\) den Kegelvektor \(-\mathbf{e}_{x}+\sqrt{2}\mathbf{e}_{z}\) enthält und \(K^{\prime\prime}_{yxz}\) den dazu entgegengesetzten Kegelvektor \(\mathbf{e}_{x}-\sqrt{2}\mathbf{e}_{z}\). S. Kap. 17.
 
26
S. Abschn. 3.​4.​1.
 
27
S. Ziff. 2, Abschn. 3.​1.
 
28
Bei den Berechnungen der Matrixelemente in einem Punkt kommen Integraloperatoren oder Produkte von Integraloperatoren vor, die den jeweiligen Abhängigkeitskegel definieren. S. Abschn. 3.​3.
 
29
Nicht nur die Werte der unabhängigen Spannungskomponenten sondern auch ihrer Ableitungen liefern Beiträge, es kommt also allgemein auf den gesamten Funktionsverlauf der unabhängigen Spannungskomponenten im Abhängigkeitskegel an.
 
30
Die Abhängigkeitskegel für die Matrixelemente von \(\mathbf{T}_{0}\) und \(\mathbf{S}_{\ast}\) sind in Tab. 8.1 angegeben.
 
Metadaten
Titel
Die allgemeine Lösung der Balance- und Randbedingungen
verfasst von
Peter Halfar
Copyright-Jahr
2016
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Spannungen in Gletschern

Print ISBN: 978-3-662-48021-2

Electronic ISBN: 978-3-662-48022-9

Copyright-Jahr: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-48022-9_8