Mit der zunehmenden theoretischen Durchdringung technischer Probleme hat die Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen ständig an Bedeutung gewonnen.
Wie im Vorwort bereits kurz angedeutet wurde, soll dem Leser dieses Buches der Zugang zur Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation dadurch wesentlich erleichtert werden, daß die Laplace-Transformation nicht nur als eine spezielle Integraltransformation mit besonderen mathematischen Eigenschaften, aber ohne physikalische Deutung behandelt und beschrieben wird. Vielmehr wird das Laplace-Integral durch Heranziehen von Fourier-Reihe und Fourier-Integral sowie deren weithin bekannte, anschauliche Deutung als eine konsequente Weiterentwicklung des Fourier-Integrals mit gleicher Anschaulichkeit dargestellt.
In den vorangegangenen Abschnitten wurde das Laplace-Integral schrittweise über die Fourier-Reihe sowie das Fourier-Integral abgeleitet. Diese ausführlichen Überlegungen vermitteln gleichzeitig ein besseres Gefühl und tieferes Verständnis für diese bedeutsame Integraltransformation.
Nachdem in den vorhergehenden Abschnitten die Grundlagen für die Hin- und Rücktransformation, d. h. die Ermittlung von Bildfunktionen und die Rückgewinnung von Originalfunktionen, vermittelt worden sind, sollen nun weitere Sätze erläutert werden, die den Anwendungsbereich der Laplace-Transformation auf einfache Art und Weise wesentlich erweitern.
Die Einführung der Begriffe Übertragungsfunktion und Übergangsfunktion haben sich vor allem in der elektrischen Nachrichtentechnik, der Regelungstechnik und Mechanik als äußerst nützlich erwiesen. Um beispielsweise die Übertragungseigenschaften von Netzwerken zu ermitteln, werden zusammengehörige Eingangs- und Ausgangssignale des Netzwerks miteinander verglichen und auf diese Weise der Einfluß des Netzwerks auf beliebige Eingangssignale festgestellt. Die das System beschreibende Differentialgleichung besitzt für die praktische Handhabung nämlich den Nachteil, daß ihre Konstanten experimentell häufig sehr schwierig zu bestimmen sind. Gute Aussagen über das dynamische Verhalten eines Systems lassen sich jedoch schon dadurch gewinnen, daß sinusförmige Erregungen verwendet und die Reaktionen des Systems auf diese Erregungen bestimmt werden. Werden diese sinusförmigen Eingangsgrößen als zeitlich unbegrenzt und weiterhin das System bzw. Netzwerk als linear angenommen, so gehört zu jeder sinusförmigen Eingangsgröße stets eine sinusförmige Ausgangsgröße. Die Übertragungseigenschaften eines linearen Systems lassen sich somit bestimmen, indem das Frequenzverhalten des Systems, das heißt die Abhängigkeit der Amplitude und Phase der Ausgangsgröße als Funktion der Frequenz untersucht wird. Ein System wird als linear bezeichnet, falls es nur aus linearen Elementen besteht. Ein lineares Element wiederum ist dadurch charakterisiert, daß es zwei physikalische Größen linear miteinander verknüpft.
Die Grundlagen der Laplace-Transformation bilden den Inhalt der vorangegangenen Abschnitte. So wurden beispielsweise die verschiedenen Hilfssätze und Rechenregeln auf einfache Aufgaben zur Untermauerung der Theorie angewendet. Mit Hilfe der bisher erworbenen theoretischen Grundkenntnisse sollen nun aus dem weiten Anwendungsgebiet der Laplace-Transformation typische, ausgewählte Beispiele behandelt werden.
Gewöhnliche lineare Differentialgleichungen oder Differentialgleichungssysteme werden durch die Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen oder Gleichungssysteme überführt, wie bereits in Abschnitt 6 ausführlich beschrieben wurde. Derartige Differentialgleichungen enthalten nur Ableitungen nach einer unabhängigen Variablen.
Die Behandlung von Differenzengleichungen hat in den letzten Jahren vor allem auf den Gebieten der Impuls-, Radar- und Rechenmaschinentechnik eine besondere Bedeutung erlangt. Auch in der Meß- und Regelungstechnik treten mit fortschreitender Automatisierung immer häufiger impulsförmige Größen als Eingangsgrößen eines Systems auf. Systeme, bei denen sich die Eingangsgröße aus einer Folge von Impulsen mit gleichem zeitlichen Abstand zusammensetzt, werden allgemein als Abtastsysteme bezeichnet. Auch hier können die bereits in den früheren Abschnitten abgeleiteten Begriffe der Übertragungsfunktion, der Übergangsfunktion und des Frequenzganges angewendet werden. Lineare Abtastsysteme lassen sich, nachdem die das System beschreibende Differentialgleichung ermittelt worden ist, vorteilhaft mit Hilfe der Laplace-Transformation behandeln. Jeder, der sich mit diesem Aufgabengebiet näher auseinandersetzen will oder muß, sollte sehr sorgfältig bei Veröffentlichungen die Begriffe und Definitionen erfassen. Da es sich hier um einen relativ neuen Themenkreis handelt, werden nämlich die verschiedenen Begriffe erfahrungsgemäß noch sehr uneinheitlich definiert.
In den bisherigen Abschnitten wurde die Laplace-Transformation ausführlich behandelt. Neben der Herleitung der verschiedenen Hilfssätze wurden die Methoden der Rücktransformation dargestellt sowie eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten angegeben. In einem abschließenden Kapitel soll nun die Verbindung zu der von Heaviside 1 entwickelten Methode der Operatorenrechnung hergestellt und auf eine verwandte Transformation, die Laplace-CarsonTransformation, eingegangen werden.
