Stochastische Analysis

Die Stochastische Analysis ist in den letzten Jahren ein großes, mit vielen Teilen der Mathematik verflochtenes Forschungsgebiet geworden. Ihre inzwischen solide fundierte heutige Gestalt wäre ohne die Beiträge vor allem der französischen Schule um P.A. Meyer nicht denkbar. Als Beispiele hervorragender monographischer Darstellungen, in welchen die grundlegenden Ideen und Methoden in angemessener Weise auch zu ihren Quellen zurückverfolgt werden, seien u.a. die Bücher von N. Ikeda und S. Watanabe [I-W 81], L.C.G. Rogers und D. Williams [R-W 87], I. Karatzas und S.E. Shreve [K-S 88] und D. Revuz und M. Yor [R-Y 91] besonders hervorgehoben.

In diesem Buch sollen aus der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie lediglich Grundbegriffe vorausgesetzt werden. Zwischen diesen und der von Kapitel 2 an ausführlich entwickelten Theorie der Stochastischen Prozesse, die den eigentlichen Gegenstand des Buches bilden, gibt es naturgemäß einen Bereich „vertiefter“ Grundbegriffe, dem dieses vorbereitende Kapitel gewidmet ist, so daß wir später auch darauf bequem zurückgreifen können. Hierzu gehören insbesondere aus der Maßtheorie ein flexibles Monotone-Klasse-Argument, einiges über Maß und Topologie auf polnischen Räumen (einschließlich geeigneter Versionen des Kolmogorovschen Konsistenzsatzes) und der Begriff des Gaußschen Zylindermaßes; daneben aus der Wahrscheinlichkeitstheorie vor allem bedingte Erwartungen und ihre Verbindung mit Markovkernen.

Stochastische Prozesse beschreiben die (zeitliche) Evolution eines Phänomens unter einer zusätzlichen Zufallsabhängigkeit. Sie sind insofern also Funktionen von zwei in ihrem Charakter sehr verschiedenen Veränderlichen: einem deterministischen Parameter t aus einer Menge T und einem Zufallsparameter w aus einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω; ℱ; P). Dabei sind hinsichtlich der t-Abhängigkeit neben den „pfadweisen“ (für jeweils festgehaltenes ω ∈ Ω) vor allem globale stochastische Gesetze von Interesse, die sich häufig mittels bedingter Erwartungen formulieren, etwa die Markovsche Eigenschaft der „Gedächtnislosigkeit“ oder die Martingal-Eigenschaft der „Konstanz im bedingten Mittel“. Letztere wird im nächsten Kapitel eingehend behandelt. In diesem Kapitel untersuchen wir vor allem Markovprozesse, daneben aber auch Gaußprozesse und — als Beispiel zu beiden — die Brownsche Bewegung.

Wir haben im letzten Abschnitt bereits zwei große Klassen von stochastischen Prozessen kennengelernt: Gaußprozesse und Markovprozesse. Erstere sind durch eine Verteilungsklasse (die Gaußmaße; Abschnitt 1.6) definiert, während Markovprozesse durch ein stochastisches Prinzip (die „Gedächtnislosigkeit“, in Abschnitt 2.5 in verschiedenen Varianten als elementare bzw. schwache Markoveigenschaft präzisiert) charakterisiert sind. In diesem Kapitel wird für reellwertige Prozesse ein weiteres fundamentales Aufbauprinzip formuliert, die „Konstanz (bzw. Monotonie) im bedingten Mittel“. Diese wiederum mit Hilfe bedingter Erwartungen ausgedrückte Gesetzmäßigkeit hat weitgehende Folgen für das pfadweise Konvergenzverhalten des Prozesses: es garantiert die Existenz einseitiger Grenzwerte für fast alle Pfade. So lassen sich insbesondere die starken Gesetze großer Zahlen, aber ebenso die Möglichkeit rechtsstetiger Modifikationen von Markovprozessen, auf die starken (d. h. pfadweisen) Grenzwertsätze der Martingaltheorie zurückführen. Die Brownsche Bewegung, schon als prominentestes Beispiel für Gauß- und Markovprozesse erkannt, ist — trotz „wildester“ Fluktuation ihrer Pfade (vgl. Satz 2.16) — dennoch konstant im bedingten Mittel und damit ein hervorragendes Beispiel auch dieser Klasse von stochastischen Prozessen. Das Kapitel schließt mit einem Blick auf Diffusionen — ihre Pfadeigenschaften, infinitesimale Erzeuger und über Martingaltheorie ihre Verbindung mit dem Dirichletproblem elliptischer Differentialoperatoren.

Die im vorangehenden Abschnitt entwickelte Martingaltheorie bildet das Fundament einer „stochastischen Analysis“ der Pfade von Prozessen. Dies gilt zunächst in offensichtlicher Weise für die (pfadweisen) Konvergenzsätze von Abschnitt 3.6. Eine Quelle wichtiger Abschätzungen bilden andererseits die Maximal-Ungleichungen. Vor allem aber erlauben die Aussagen des Optional Sampling Theorems den wirkungsvollen Einsatz von Stopzeiten zur Kontrolle des Pfadverhaltens.

Ein deterministisches dynamisches System (etwa auf ℝ ^d ) wird beschrieben durch eine Differentialgleichung ̇ = ß(t, y) oder auch durch deren Lösungsfluß, also eine Familie von Abbildungen, so daß y ^s,x (t):= Φ _s,t (x) die zur Zeit s in x startende Lösung der Differentialgleichung ist. Unterliegt das System zufälligen äußeren Einflüssen, so bieten sich alternative stochastische Beschreibungen an. Einerseits wissen wir nach Beispiel 1.27 iv), daß als Folge der Flußgleichungen die (deterministischen) Markovkerne \( \mathop K\nolimits_{s,t} \left( {x, \cdot } \right) = \mathop \delta \nolimits_{\mathop \Phi \nolimits_{s,t} \left( x \right)} \) eine Halbgruppe auf ℝ ^d bilden, so daß allgemeine Markovprozesse, insbesondere Diffusionen, als stochastische Verallgemeinerungen dynamischer Systeme anzusehen sind. Andererseits ist es naheliegend, die deterministische Differentialgleichung ̇ = ß(t, y) durch Addition eines Fluktuationstermes σ(t,y) W _t mit einem geeigneten „Rauschprozeß“ W zu ergänzen. Wählt man im Hinblick auf die (in Kapitel 5 dargelegte) universelle Rolle der Brownschen Bewegung für W das „weiße Rauschen“, also die Brownsche Geschwindigkeit (vgl. Abschnitt 2.3), so schreibt sich die fundamentale stochastische Differentialgleichung in Integralform als mit dem stochastischen Integral nach der BM B im Rauschterm. Es ist Itô’s Verdienst [IT 51], den Zusammenhang der Lösungen dieser Gleichung mit Diffusionen erkannt zu haben und damit eine Möglichkeit zur pfadweisen Konstruktion von Diffusionsprozessen ohne den Umweg über die Markov-Halbgruppe ihrer Übergangswahrscheinlichkeiten gefunden zu haben.

Ziel dieses Kapitels ist es, Grundbegriffe der stochastischen Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Dazu wird es erforderlich sein, für den euklidischen Raum ℝ ^d formulierte stochastische Begriffe und Konzepte entsprechend zu verallgemeinern und in koordinatenfreier Darstellung neu zu fassen.