Skip to main content

1996 | Buch

Entwurf robuster Regelungen

verfasst von: Dr.-Ing. Kai Müller

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

insite
SUCHEN

Über dieses Buch

In Abständen von etwa 20 Jahren konnten in der Regelungstechnik grundsätzliche Neuerungen beobachtet werden. Nachdem in den 40er Jahren eine systematische Behandlung von Regelkreisen im Frequenzbereich entwickelt wurde (Bode, Nyquist, Ziegler und Nichols, Wiener), verlagerte sich um 1960 das Interesse der Theoretiker auf den Zeitbereich, den Zustandsraum und optimale Regelung (Luenberger, Kaiman). Die Verfahren basieren auf Prozeßmodellen, und es stellte sich heraus, daß häufig in der praktischen Anwendung Probleme aufgrund von Modell- oder Parameterunsicherheiten auftreten. Dies motivierte die Entwicklung der robusten Regelungen in den 80er Jahren, die explizit bei Anwesenheit von Unsicherheiten Stabilität bzw. die Einhaltung bestimmter Qualitätsmerkmale gewährleisten ([16], [17], [68]) und somit große praktische Relevanz aufweisen. In diesem Buch sollen Theorie und Einsatz der in den 80er Jahren entwickelten Norm-optimalen Regelungen vermittelt werden. Selbstverständlich handelt es sich hierbei nur um eine Facette der zahlreichen neuen Entwicklungen auf dem Gebiet der Entwurfs-und Analyseverfahren. Insbesondere die H -optimalen Regler und 00 die J.L-Synthese haben jedoch in den letzten 10 Jahren entscheidend dazu beigetragen, daß sich das Bild der "modernen" Regelungstechnik merklich gewandelt hat. Obwohl die Norm-optimalen Regelungen einen neuen Ansatz darstellen, so ist doch die Entwicklung ohne die Ergebnisse früherer Verfahren undenkbar. Aus didakti­ schen Gründen werden deshalb den robusten Regelungen Verfahren wie Polvorgabe, quadratisch optimale Regelung oder LQG vorangestellt. In Kapitel 7 schließt sich eine Einführung in Normen für Signale und Systeme an.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Regelungstechnische Grundlagen
Zusammenfassung
In einem geschlossenen Wirkungskreis verändert der Regler die Eigenschaften des zu regelnden Prozesses (Regelstrecke) in gewünschter Weise. Oft hat ein Regler bei technischen Anlagen großen Einfluß auf die Funktion, die Produktqualität oder die Betriebssicherheit. Bestimmte Prozesse, wie beispielsweise Kraftwerke oder Magnetschnellbahnen lassen sich ohne Regelung gar nicht betreiben. Dem Regler und damit dem Reglerentwurf kommt somit häufig eine wichtige Bedeutung zu. Die Zusammenhänge zwischen Regler, Regelstrecke und den Eigenschaften des geschlossenen Kreises sollen in diesem Kapitel behandelt werden.
Kai Müller
2. Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung
Zusammenfassung
Übertragungsfunktion und Zustandsdarstellung sind unterschiedliche Darstellungsformen zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens linearer Strecken. Die Darstellungen lassen sich beliebig ineinander überführen. Übertragungsfunktionen ermöglichen eine kompakte Beschreibung der Übertragungseigenschaften mit einer minimalen Anzahl von Parametern (Koeffizienten von Polynomen). Die Zustandsdarstellung enthält zusätzlich Informationen über die Struktur der Strecke und gestattet somit Aussagen über wichtige Eigenschaften wie beispielsweise Steuerbarkeit oder Beobachtbarkeit (s. Kap. 3.3). Aufgrund wesentlich günstigerer numerischer Eigenschaften der Zustandsdarstellung gegenüber einer Streckenbeschreibung mit Übertragungsfunktionen beruht nahezu die gesamte regelungstechnische Software (Matlab, MatrixX, Program CC, Control-C, uva.) auf Zustandsformen.
Kai Müller
3. Zustandsregelung
Zusammenfassung
Sowohl Stabilität als auch die Geschwindigkeit von Einschwingvorgängen werden ausschließlich von der Lage der Pole einer Übertragungsfunktion bestimmt. Es liegt nun nahe, einen Regler so zu entwerfen, daß die Pole des geschlossenen Kreises bestimmte Werte (in der linken Halbebene = LHE) annehmen. Man spricht in diesem Fall von Polvorgabe oder von Polverschiebung, falls die Pole durch den Regler um einen bestimmten Betrag (i.a. „nach links“) verschoben werden sollen.
Kai Müller
4. Beobachter
Zusammenfassung
Der Zustandsregler aus dem vorangegangenen Abschnitt setzt eine Kenntnis aller Zustandsgrößen voraus. Mit Hilfe eines sogenannten Beobachters lassen sich auch nicht meßbare Zustandsgrößen rekonstruieren, wenn ein genaues Modell der Strecke zur Verfügung steht. Auf Luenberger [42] geht die Idee zurück, den Zustandsvektor x mit einem Streckenmodell zu schätzen. Die Begriffe Beobachter und Zustandsschätzung sind Synonyme.
Kai Müller
5. Optimale Zustandsregelung
Zusammenfassung
Ein „optimaler“ Regler K(s) ist die Lösung eines Variations- oder Extremwertproblems der Form
$$ J\left( {x,u,t...} \right) = \mathop {\min }\limits_{K\left( s \right)} $$
. Ein Regler ist nur dann optimal hinsichtlich des sogenannten Funktionals J, wenn kein anderer Regler existiert, der J weiter minimiert. Das Funktional J wird häufig auch als Kostenfunktion bezeichnet.
Kai Müller
6. Kalman-Filter und LQG
Zusammenfassung
Bei gestörten Meßwerten (Sensor-Rauschen) und bei Anwesenheit von Prozeßstörungen liefert das sogenannte Kalman-Filter optimale Schätzwerte für Zustandsbzw. Ausgangsgrößen. Kalman-Filter können sowohl zur Schätzung nicht meßbarer Zustandsgrößen als auch zur Filterung stark gestörter Meßwerte eingesetzt werden (daher der Name Kalman-Filter). Man kann das Kalman-Filter auch als Beobachter auffassen. Bild 6.1 zeigt die interessierenden Größen zum Entwurf des Kalman-Filters.
Kai Müller
7. Normen für Signale und Systeme
Zusammenfassung
Eine Norm bewertet Elemente eines sogenannten metrischen Raumes durch eine reelle, positive Zahl, die ein Maß für die „Größe“ dieses Elementes darstellt. In der Regelungstechnik werden Normen zur Beschreibung der Regelgüte verwendet. In diesem Zusammenhang spricht man auch von einem „Performance-Index“. Die Normen beziehen sich bei Signalen auf vektorwertige, reelle Funktionen der Zeit t oder komplexe Funktionen in s. Bei Systemen betrachtet man matrixwertige komplexe Funktionen in s. Die betreffenden metrischen Räume sind dementsprechend Funktionen-Räume.
Kai Müller
8. Koprime Faktorisierung
Zusammenfassung
Jede reell rationale Übertragungsfunktion läßt sich durch zwei stabile, begrenzte Übertragungsfunktionen darstellen. Wir bezeichnen diese Übertragungsfunktionen als zur Menge φ zugehörig:
Menge φ: Menge aller stabilen, reell rationalen, begrenzten Übertragungsfunktionen
Die Menge φ ist abgeschlossen bezüglich Addition und Multiplikation.
Kai Müller
9. Modellabgleich
Zusammenfassung
Bisher blieb die Frage unbeantwortet, wie man auf systematische Weise die Übertragungsfunktion Q(s) bestimmen kann. In diesem Kapitel werden optimale Lösungen vorgestellt, die Normen von Übertragungsfunktionen des geschlossenen Kreises minimieren. Da mit Q(s) die Gesamtheit aller stabilisierenden Regler erfaßt wird, führt die optimale Lösung für Q(s) auch auf die optimale Lösung für K(s).
Kai Müller
10. Minimierung der 2-Norm
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird der Reglerentwurf durch Minimierung der 2-Norm einer Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises beschrieben. Jedes Entwurfsproblem kann dabei auf die „Modellabgleich“-Struktur aus Kapitel 9.1 zurückgeführt werden. Die betreffenden Übertragungsfunktionen sind linear von dem zu bestimmenden Parameter Q abhängig.
Kai Müller
11. Minimierung der ∞ — Norm
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird ein Algorithmus zur Lösung des Modellabgleich-Problems
vorgestellt. Die ∞-Norm minimiert gemäß Tabelle 7.2 in Kap. 7.3.1 die 2-Norm/2-Norm-Systemverstärkung und damit das maximal mögliche Verhältnis der Energien bzw. Leistungen von Fehlergrößen zu Eingangsgrößen. Das Problem besteht darin, eine stabile Funktion Q(s) zu ermitteln, die auf das Minimum der obigen ∞-Norm führt.
Kai Müller
12. Berechnung 2- und ∞ -Norm-optimaler Regler im Zustandsraum (H2-/H∞-Regler)
Zusammenfassung
Die durch Minimierung der 2- und ∞-Normen entstandenen Regelungen werden häufig auch als H2- bzw. H-optimale Regelungen bezeichnet. Der Buchstabe “H” steht für Hardy-Raum [20]. Der Raum besteht aus der Menge aller Funktionen F(s) der komplexen Variable s, die analytisch in der rechten Halbebene sind und deren 2-Norm (für H2) bzw. ∞-Norm (für den Raum H) endlich sind. Sofern Übertragungsfunktionen Element von H2 bzw. H sind, bezeichnet man Ihre Normen auch als H2-Norm bzw. H-Norm.
Kai Müller
13. Reglerentwurf für Prozesse mit unsicheren Parametern und unstrukturierten Modellunsicherheiten
Zusammenfassung
Das Problem, einen Regler für Prozesse mit Parameter- oder Modellunsicherheiten zu entwerfen, kann mit Bild 13.1 beschrieben werden.
Kai Müller
Backmatter
Metadaten
Titel
Entwurf robuster Regelungen
verfasst von
Dr.-Ing. Kai Müller
Copyright-Jahr
1996
Verlag
Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN
978-3-663-12091-9
Print ISBN
978-3-519-06173-1
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-663-12091-9