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2009 | Buch

Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens

verfasst von: Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois

Verlag: Vieweg+Teubner

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Auszug

Die Aufgabe der Numerischen Mathematik besteht in der konkreten (zahlenmäßigen) Auswertung mathematischer Formeln beziehungsweise in der expliziten Lösung mathematischer Gleichungen; die Kapitelüberschriften dieses Buches geben einen Hinweis auf die vielfältigen Fragestellungen.

Zentrale Grundbegriffe

I. Zentrale Grundbegriffe

Auszug

Rundungsfehler stehen im Mittelpunkt des ersten Abschnitts dieses Kapitels. Insbesondere wird ihr Einfluß auf die Stabilität von numerischen Algorithmen anhand einiger ausgewählter Beispiele diskutiert. Daneben wird Matrix- und Vektornormen viel Platz eingeräumt, da ein sicherer Umgang mit diesen Begriffen im gesamten Rest dieses Buchs wesentlich ist.

Algebraische Gleichungen

Frontmatter

II. Lineare Gleichungssysteme

Auszug

Lineare Gleichungssysteme haben eine seltene Ausnahmestellung in der Mathematik, denn sie können durch Gauß-Elimination mit endlich vielen Elementaroperationen explizit gelöst werden (exakte Arithmetik vorausgesetzt). Diese Ausnahmestellung mag dazu verleiten, lineare Gleichungssysteme vom mathematischen Standpunkt aus als trivial anzusehen, und in der Praxis werden daher oft „irgendwelche“ Routinen aus einer Programmbibliothek zur Lösung solcher Systeme aufgerufen.

III. Lineare Ausgleichsrechnung

Auszug

Übersteigt die Anzahl der Gleichungen die der Unbekannten, so ist das Gleichungssystem überbestimmt und in der Regel nicht lösbar. Überbestimmte Gleichungssysteme Ax = b mit $ A \in \mathbb{K}^{m \times n} $, m > n, treten jedoch vielfach in Anwendungen auf, etwa in dem Tomographiebeispiel aus der Einleitung. Oft ist es dann sinnvoll, die Lösung x des sogenannten linearen Ausgleichsproblems

$$ minimiere \left\| {b - Ax} \right\|_2 \ddot uber x \in \mathbb{K}^n $$

zu suchen, etwa wenn der Vektor b aus fehlerbehafteten Meßdaten besteht und die Meßfehler geeignete statistische Eigenschaften aufweisen.

IV. Nichtlineare Gleichungen

Auszug

Nach den linearen Gleichungssystemen wenden wir uns nun nichtlinearen Gleichungen in einer und mehreren Variablen zu. Nichtlineare Gleichungen werden zumeist als Nullstellenaufgabe formuliert, d. h. gesucht wird die Nullstelle einer Abbildung

$$ F:\mathcal{D}\left( F \right) \subset \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n $$

oder das Minimum von ∥F(x)∥₂ über $ \mathcal{D}\left( F \right) $. Hier und im folgenden bezeichnet $ \mathcal{D}\left( F \right) $ den Definitionsbereich von F, der im weiteren als o.en und zusammenhängend vorausgesetzt wird. Durch die Transformation F(x) = G(x)-y kann jede nichtlineare Gleichung G(x) = y unmittelbar in eine solche Nullstellenaufgabe überführt werden.

V. Eigenwerte

Auszug

Für die Entwicklung effizienter Algorithmen ist die Struktur des zugrundeliegenden Problems von entscheidender Bedeutung. Ein gutes Beispiel hierfür sind Eigenwertprobleme: Das Eigenwertproblem für eine Matrix $ A \in \mathbb{K}^{n \times n} $,

$$ Ax = \lambda x, x \in \mathbb{C}^n \backslash \left\{ 0 \right\}, \lambda \in \mathbb{C}, $$

ist nichtlinear, denn die Unbekannten λ und x treten im Produkt auf. Trotzdem verwendet die gängige Software zur Berechnung von λ und/oder x keines der Verfahren aus dem vorangegangenen Kapitel.

Interpolation und Approximation

Frontmatter

VI. Orthogonalpolynome

Auszug

Effiziente Darstellungen bzw. Methoden zur Approximation von Funktionen einer reellen Variablen stehen im Mittelpunkt dieses zweiten Buchteils. Am einfachsten ist es, lediglich endlich viele Funktionswerte an gewissen Knoten abzuspeichern. Werden Funktionswerte zwischen den Knoten benötigt, müssen diese Werte interpoliert werden. Alternativ kann die Funktion durch ein Element eines endlichdimensionalen Funktionenraums $ \mathcal{F} $ approximiert werden, repräsentiert durch eine Linearkombination geeigneter Basisfunktionen.

VII. Numerische Quadratur

Auszug

Gegenstand dieses Kapitels ist die numerische Approximation bestimmter Integrale

$$ I\left[ f \right] = \int_a^b {f\left( x \right)dx, } - \infty \leqslant a < b \leqslant \infty , $$

die nicht in geschlossener Form ausgewertet werden können. Zur Approximation werden geeignete Quadraturformeln verwendet, die wenige Funktionswerte von f zu einer Integralnäherung mitteln. Durch Anwendung einer solchen Quadraturformel auf einzelne Teilintervalle von [a, b] der Länge h ergibt sich ein zusammengesetztes Quadraturverfahren, das für h → 0 gegen I[f] konvergiert.

VIII. Splines

Auszug

Historisch wurde zunächst die Polynominterpolation zur Approximation skalarer Funktionen verwendet. Die interpolierenden Polynome weisen jedoch in der Regel bei feineren Gittern starke Oszillationen auf und nur eine geringe qualitative Übereinstimmungen mit der gesuchten Funktion. Daher ist diese Art der Interpolation lediglich für sehr kleine Polynomgrade beziehungsweise spezielle Interpolationsgitter sinnvoll.

IX. Fourierreihen

Auszug

Nach der Interpolation durch Splines wenden wir uns nun der Interpolation und Approximation einer (komplexwertigen) Funktion einer Veränderlichen durch trigonometrische Polynome zu. In den Anwendungen werden trigonometrische Polynome häufig verwendet, da die zugehörigen Entwicklungskoeffizienten mit der schnellen Fouriertransformation (FFT) sehr effizient berechnet werden können. Für die zugehörigen Fehlerabschätzungen führen wir eine Skala periodischer Sobolevräume über einem reellen Intervall ein.

X. Multiskalenbasen

Auszug

Die Approximation mit trigonometrischen Polynomen hat den Vorteil, daß eine vorgegebene Funktion elegant in einen niederfrequenten („glatten“) und einen hochfrequenten Anteil zerlegt werden kann. Zudem können die zugehörigen Entwicklungskoeffizienten effizient ausgerechnet werden. Ein Nachteil der trigonometrischen Polynome ist hingegen ihre schlechte Lokalisierungseigenschaft, die dazu führt, daß zur Approximation von Sprungfunktionen Polynome hohen Grades benötigt werden.

Mathematische Modellierung

Frontmatter

XI. Dynamik

Auszug

Die Modellierung technisch-naturwissenschaftlicher Vorgänge ist eine zentrale Aufgabe des wissenschaftlichen Rechnens. Das entscheidende Problem besteht darin, die Realität so genau abzubilden, wie es für die jeweilige Anwendung erforderlich ist, ohne dabei die numerische Umsetzbarkeit aus den Augen zu verlieren.

XII. Erhaltungsgleichungen

Auszug

Im Gegensatz zu den Partikelmodellen aus Abschnitt 63.2 werden bei der makroskopischen Sichtweise alle wesentlichen physikalischen Größen als kontinuierlich angenommen.¹ Räumliche und zeitliche Veränderungen dieser Größen genügen häufig Erhaltungsgesetzen, die unter hinreichenden Glattheitsvoraussetzungen zu partiellen Differentialgleichungen äquivalent sind. Der nachfolgende Abschnitt gibt eine Einführung in dieses Prinzip. Für eine umfassendere und rigorosere Behandlung der physikalischen und mathematischen Grundlagen sei etwa auf das Buch von Rubinstein und Rubinstein [92] verwiesen.

XIII. Diffusionsprozesse

Auszug

Zum Abschluß dieses Modellierungsteils wenden wir uns noch Diffusionsprozessen zu, die in einer Vielzahl unterschiedlicher Anwendungen auftreten. Diffusionsprozesse haben ausgleichenden Charakter: In vielen Fällen gibt es stationäre (von der Zeit unabhängige) Lösungen, die als Gleichgewichtszustände interpretiert werden können. Eine davon abweichende Anfangsvorgabe zur Zeit t = 0 führt zu einer zeitabhängigen Lösung (einer parabolischen partiellen Differentialgleichung), die im Grenzübergang t → ∞ wieder gegen diesen Gleichgewichtszustand konvergiert.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Frontmatter

XIV. Anfangswertprobleme

Auszug

In diesem Kapitel werden numerische Verfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differentialgleichungen behandelt. In der Literatur wird zwischen Einschritt- und Mehrschrittverfahren unterschieden, mit den Runge-Kuttaund den Adams-Verfahren als jeweils bekanntesten Repräsentanten.

XV. Randwertprobleme

Auszug

Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung werden neben Anfangswertaufgaben oft auch Randwertprobleme betrachtet. Gängige Verfahren zur Lösung solcher Randwertaufgaben sind Differenzenverfahren und die Methode der finiten Elemente. Wir betrachten in diesem Kapitel nur Differenzenverfahren und behandeln die Methode der finiten Elemente im nachfolgenden Kapitel in größerer Allgemeinheit für elliptische Randwertaufgaben. Differenzenverfahren werden sehr ausführlich in dem Buch von Großmann und Roos [40] beschrieben. Schöne Darstellungen der Finite-Elemente-Methode für eindimensionale Probleme finden sich in den Büchern von Kreß [63] und von Quarteroni, Sacco und Saleri [86].

Partielle Differentialgleichungen

Frontmatter

XVI. Elliptische Differentialgleichungen

Auszug

Nach den gewöhnlichen Differentialgleichungen wenden wir uns nun partiellen Differentialgleichungen zu. Wir beginnen mit stationären Diffusionsprozessen, also Randwertaufgaben für elliptische Differentialgleichungen, deren numerische Behandlung grundsätzlich ähnlich ist zu der von Randwertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Da wir in Kapitel XV ausführlich Differenzenverfahren behandelt haben, konzentrieren wir uns im weiteren auf die Methode der finiten Elemente (FEM).

XVII. Parabolische Differentialgleichungen

Auszug

Als nächstes kommen wir zu zeitabhängigen Diffusionsprozessen. Wir untersuchen numerische Verfahren, bei denen die Differentialgleichung mittels einer Ortsdiskretisierung in ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen bezüglich der Zeit transformiert wird (in Form eines Anfangswertproblems). Die Ortsdiskretisierung kann wahlweise mit einem Differenzenverfahren oder dem Galerkin-Verfahren erfolgen; wie bei den elliptischen Differentialgleichungen beschränken wir uns auf letzteres. Das resultierende Anfangswertproblem muß schließlich mit einem A-stabilen Runge-Kutta-Verfahren gelöst werden.

XVIII. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen

Auszug

Als letztes wenden wir uns Erhaltungsgleichungen zu, die auf hyperbolische Differentialgleichungen erster Ordnung führen. Wie wir bereits in Kapitel XII gesehen haben, können die Lösungen solcher Differentialgleichungen Sprungstellen aufweisen, deren numerische Approximation äußerst diffizil ist. Daher kann im Rahmen dieses Buchs allenfalls eine Einführung in die relevanten Problemstellungen gegeben werden, wobei wir uns zudem fast ausschließlich auf den einfachsten Fall von einer Gleichung mit lediglich einer skalaren Ortsvariablen (neben der Zeit) beschränken.

Backmatter

Titel: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens
verfasst von: Prof. Dr. Martin Hanke-Bourgeois
Verlag: Vieweg+Teubner
Electronic ISBN: 978-3-8348-9309-3
Print ISBN: 978-3-8348-0708-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-8348-9309-3

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Einleitung

Einleitung

Zentrale Grundbegriffe

I. Zentrale Grundbegriffe

Algebraische Gleichungen

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II. Lineare Gleichungssysteme

III. Lineare Ausgleichsrechnung

IV. Nichtlineare Gleichungen

V. Eigenwerte

Interpolation und Approximation

Frontmatter

VI. Orthogonalpolynome

VII. Numerische Quadratur

VIII. Splines

IX. Fourierreihen

X. Multiskalenbasen

Mathematische Modellierung

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XI. Dynamik

XII. Erhaltungsgleichungen

XIII. Diffusionsprozesse

Gewöhnliche Differentialgleichungen

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XIV. Anfangswertprobleme

XV. Randwertprobleme

Partielle Differentialgleichungen

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XVI. Elliptische Differentialgleichungen

XVII. Parabolische Differentialgleichungen

XVIII. Hyperbolische Erhaltungsgleichungen

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