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Erschienen in:
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2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Euler–Bernoulli Beams

verfasst von : Andreas Öchsner

Erschienen in: Partial Differential Equations of Classical Structural Members

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

This chapter covers the continuum mechanical description of thin beam members. Based on the three basic equations of continuum mechanics, i.e., the kinematics relationship, the constitutive law and the equilibrium equation, the partial differential equation, which describes the physical problem, is derived.

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Fußnoten
1
More precisely, this beam is known as the Euler–Bernoulli beam. A historical analysis of the development of the classical beam theory and the contribution of different scientists can be found in [7].
 
2
More precisely, this is the neutral fibre or the bending line.
 
3
Consequently, the width b and the height h of a, for example, rectangular cross section remain the same, see Fig. 3.1b.
 
4
The sum of all points with \(\sigma = 0\) along the beam axis is called the neutral fiber.
 
5
Note that according to the assumptions of the Bernoulli beam the lengths 01 and \(0'1'\) remain unchanged.
 
6
However, this formulation works well in the case of rod elements since stress and strain are constant over the cross section, i.e. \(\sigma _x=\sigma _x(x)\) and \(\varepsilon _x=\varepsilon _x(x)\), see Fig. 2.​4.
 
7
A similar stress resultant can be stated for the shear stress based on the shear force: \(Q_z(x)=\iint \tau _{xz}(x,z)\,\text {d}A\).
 
8
The curvature is then called a generalized strain.
 
9
A positive cut face is defined by the surface normal on the cut plane which has the same orientation as the positive x-axis. It should be regarded that the surface normal is always directed outward.
 
10
If the axis is grasped with the right hand in a way so that the spread out thumb points in the direction of the positive axis, the bent fingers then show the direction of the positive rotational direction.
 
11
In the general case, the unit of the elastic foundation modulus is force per unit area per unit length, i.e. \(\tfrac{\text {N}}{\text {m}^2}/\text {m}=\tfrac{\text {N}}{\text {m}^3}\).
 
Literatur
1.
Altenbach H, Altenbach J, Naumenko K (1998) Ebene Flächentragwerke: Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer, BerlinCrossRef
2.
Boresi AP, Schmidt RJ (2003) Advanced mechanics of materials. Wiley, New York
3.
Budynas RG (1999) Advanced strength and applied stress analysis. McGraw-Hill Book, Singapore
4.
5.
Gross D, Hauger W, Schröder J, Wall WA (2009) Technische Mechanik 2: Elastostatik. Springer, BerlinCrossRef
6.
Hartmann F, Katz C (2007) Structural analysis with finite elements. Springer, BerlinCrossRef
7.
Heyman J (1998) Structural analysis: a historical approach. Cambridge University Press, CambridgeCrossRef
8.
Hibbeler RC (2008) Mechanics of materials. Prentice Hall, Singapore
9.
Öchsner A (2014) Elasto-plasticity of frame structure elements: modeling and simulation of rods and beams. Springer, BerlinCrossRef
10.
Szabó I (2003) Einführung in die Technische Mechanik: Nach Vorlesungen István Szabó. Springer, BerlinMATH
11.
Timoshenko S, Woinowsky-Krieger S (1959) Theory of plates and shells. McGraw-Hill Book Company, New YorkMATH
12.
Winkler E (1867) Die Lehre von der Elasticität und Festigkeit mit besonderer Rücksicht auf ihre Anwendung in der Technik. H. Dominicus, PragMATH
Metadaten
Titel
Euler–Bernoulli Beams
verfasst von
Andreas Öchsner
Copyright-Jahr
2020
Buch
Partial Differential Equations of Classical Structural Members

Print ISBN: 978-3-030-35310-0

Electronic ISBN: 978-3-030-35311-7

Copyright-Jahr: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-35311-7_3

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