Multivariate Statistik

Wenn an n Untersuchungsobjekten (i = 1,2,…,n) m Variable (Merkmale, Tatbestände) (j = 1,2,…,m) gemessen werden, ist es mit Hilfe statistischer Verfahren, insbesondere der Korrelations- und der Regressionsanalyse möglich, Zusammenhänge zwischen den Variablen aufzudecken und zu überprüfen.

Die Varianzanalyse ist ein Verfahren zur Analyse von Abhängigkeiten zwischen einer (oder mehreren) metrisch skalierten abhängigen Variablen und einer (oder mehreren) nominalskalierten unabhängigen Variablen. Die erklärenden (unabhängigen) Variablen werden in der Varianzanalyse allgemein als Faktoren, ihre Ausprägungen als Stufen oder Ebenen bezeichnet. Wird die Wirkung einer unabhängigen Variablen auf eine abhängige Variable untersucht, so spricht man von einer einfaktoriellen (einfachen) Varianzanalyse. Generelles Ziel einer solchen varianzanalytischen Untersuchung ist es, zu ermitteln, ob dieser Faktor einen statistisch signifikanten Einfluss auf die abhängige Variable ausübt. Häufig wird man allerdings daran interessiert sein, die Wirkung zweier oder mehrerer unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable zu erfassen, so dass eine zwei- bzw. mehrfaktoriellen (zwei- bzw. mehrfachen) Varianzanalyse durchgeführt wird. Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse besteht — im Gegensatz zur einfaktoriellen Varianzanalyse — zusätzlich die Möglichkeit, zu testen, ob die Faktoren in Kombination Einfluss auf die abhängige Variable nehmen. Werden neben den nominalskalierten unabhängigen Variablen zusätzlich noch metrische unabhängige Variablen erhoben, dann liegt eine so genannten Kovarianzanalyse zugrunde. Eine metrische unabhängige Variable wird dabei als Kovariate bezeichnet. Bei mehr als einer abhängigen Variablen spricht man von einer mehrdimensionalen (multivariaten) Varianzanalyse, auf die wir jedoch im Rahmen dieses Lehrbuches nicht näher eingehen wollen. Die Tabelle 3.1-1 zeigt abschließend noch einmal die wichtigsten Typen der Varianzanalyse.

Die Clusteranalyse zielt darauf ab, eine Menge von Untersuchungsobjekten im Hinblick auf ihre Homogenität zu klassifizieren. Während die Objekte innerhalb der zu bildenden Cluster möglichst homogen sein sollen, wird die entgegengesetzte Eigenschaft für die Objekte verschiedener Cluster gefordert. Klassifikationsverfahren stellen daher auf die Erreichung einer hohen internen Clusterhomogenität und einer hohen externen Clusterheterogenität, ab. Die Ähnlichkeit der Objekte wird dabei auf der Basis anwendungsspezifisch ausgewählter Klassifikationsmerkmaie bewertet.

Die Diskriminanzanalyse ist eine multivariate Analyse, die auf der Untersuchung einer nominalskalierten Variablen und mehrerer metrisch skalierter Variablen basiert. Dabei repräsentieren die Ausprägungen der nominalskalierten Variablen die Zugehörigkeiten der Untersuchungseinheiten zu zwei oder mehr alternativen Teilgruppen, und damit zu solchen Teilgruppen, die sich wechselseitig ausschließen. Die nominalskalierte Variable wird deshalb häufig auch Gruppenvariable oder Gruppierungsvariable genannt. Demgegenüber dienen die metrisch skalierten Variablen der Beschreibung dieser verschiedenen Teilgruppen. Festzustellen ist dabei, ob die Gruppen jeweils typische Merkmale aufweisen, so dass die metrisch skalierten Variablen deshalb auch als Merkmalsvariablen bezeichnet werden.

Als bekannt werden im Folgenden die Verfahren der einfachen¹ und der multiplen² Korrelation bzw. Regression vorausgesetzt. Bekanntlich wird bei der Einfachregression eine Variable Y durch eine Variable X erklärt (Y = f(x)). Bei der multiplen Regression bleibt es bei einer zu erklärenden Variablen Y, die aber jetzt über m erklärende Variable X₁, X₂ …X_m bestimmt wird. Die kanonische Korrelation geht noch einen Schritt weiter; sie bezieht sich auf zwei Gruppen von Merkmalen. Statt Y gehen jetzt p Variable Y₁, Y_2> … Y_p in die Analyse ein. Dieser Tatbestand lässt sich auch grafisch veranschaulichen.³