Mathematik für Physiker

Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

verfasst von: Dr. rer. nat. Helmut Fischer, Prof. Dr. rer. nat. Helmut Kaul

Verlag: Vieweg+Teubner Verlag

Buchreihe : Teubner Studienbücher Mathematik

Enthalten in: Professional Book Archive

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. Übersicht

Zusammenfassung

Die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen

$$ {\dot q_k}\left( t \right) = \frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}}\left( {t,{q_1}\left( t \right), \ldots ,{q_N}\left( t \right),{p_1}\left( t \right), \ldots ,{p_N}\left( t \right)} \right){\text{ }}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right),{\text{ }}{\dot p_k}\left( t \right) = - \frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}}\left( {t,{q_1}\left( t \right), \ldots ,{q_N}\left( t \right),{p_1}\left( t \right), \ldots ,{p_N}\left( t \right)} \right){\text{ }}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right){\dot q_k}\left( t \right) = \frac{{\partial H}}{{\partial {p_k}}}\left( {t,{q_1}\left( t \right), \ldots ,{q_N}\left( t \right),{p_1}\left( t \right), \ldots ,{p_N}\left( t \right)} \right){\text{ }}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right),{\text{ }}{\dot p_k}\left( t \right) = - \frac{{\partial H}}{{\partial {q_k}}}\left( {t,{q_1}\left( t \right), \ldots ,{q_N}\left( t \right),{p_1}\left( t \right), \ldots ,{p_N}\left( t \right)} \right){\text{ }}\left( {k = 1, \ldots ,N} \right)$$

(1)

stellen ein gekoppeltes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen dar.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Kapitel II. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Im ersten Band wurde eine Reihe von Differentialgleichungsproblemen behandelt, u.a. die Schwingungsgleichung ÿ + ay + by = f, die separierte Differentialgleichung ý = a(x) · b(y) und lineare Systeme ÿ = By mit symmetrischer Matrix B, jeweils mit geeigneten Anfangsbedingungen.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Kapitel III. Partielle Differentialgleichungen, elementare Lösungsmethoden

Zusammenfassung

In diesem einführenden Kapitel behandeln wir einfache Beispiele verschiedener Typen partieller Differentialgleichungen. Wir stellen dazu zwei Lösungsmethoden vor, die insofern elementar sind, als sie keine grundsätzlich neuen Begriffe und Hilfsmittel erfordern.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Kapitel IV. Hilfsmittel aus der Analysis

Zusammenfassung

Für die Behandlung partieller Differentialgleichungen wie auch für die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik bedarf es einer Erweiterung unseres mathematischen Rüstzeugs. Problemorientiertes Vorgehen, also Bereitstellung der mathematischen Hilfsmittel jeweils nach Bedarf, würde die Geschlossenheit der Argumentation bei den im folgenden behandelten Themenbereichen stören; auch werden einige dieser Hilfsmittel an mehreren Stellen benötigt.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Kapitel V. Die drei Grundtypen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

Zusammenfassung

Hierunter verstehen wir die Gleichungen

$$ - \Delta u = f,\frac{{\partial u}}{{\partial t}} - \Delta u = f,\frac{{{\partial ^2}u}}{{{\partial ^2}t}} - \Delta u = f$$

(1)

mit gegebener rechter Seite f. Wie in § 1 dargelegt wurde, fallen diese Gleichungen in verschiedenen physikalischen Kontexten an. Jeder dieser drei Typen trägt ganz charakteristische Wesenszüge und ist in dieser Hinsicht stellvertretend für den allgemeinen Fall, bei dem der Laplace-Operator durch einen gleichmäßig elliptischen ersetzt wird, vgl. § 14: 1 (b).

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Kapitel VI. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Zusammenfassung

Dieses Kapitel besteht aus zwei Teilen: Einer Einführung in die Integrationsund Wahrscheinlichkeitstheorie und einer Einführung in die Theorie linearer Operatoren im Hilbertraum. Jeder von ihnen ist von eigenem Interesse; gleichwohl gibt es sowohl historisch als auch im Hinblick auf die Zielsetzung dieses Kapitels Verbindungen, auf die wir kurz eingehen.

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Backmatter

Titel: Mathematik für Physiker
verfasst von: Dr. rer. nat. Helmut Fischer
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Kaul
Verlag: Vieweg+Teubner Verlag
Electronic ISBN: 978-3-322-92110-9
Print ISBN: 978-3-519-02080-6
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-322-92110-9

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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. Übersicht

Kapitel II. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Kapitel III. Partielle Differentialgleichungen, elementare Lösungsmethoden

Kapitel IV. Hilfsmittel aus der Analysis

Kapitel V. Die drei Grundtypen linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

Kapitel VI. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

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