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2013 | Buch

Festigkeitslehre

verfasst von: Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Umfassend und verständlich führen die Autoren in die "Technische Mechanik deformierbarer fester Körper" (Festigkeitslehre) ein. Anhand zahlreicher, vollständig ausgearbeiteter Beispiele demonstrieren sie die Leistungsfähigkeit analytischer, numerischer und experimenteller Methoden der Festigkeitslehre zur Lösung bedeutender technischer Aufgaben.

Im Anschluss an die wesentlichen mathematischen Grundlagen behandeln sie folgende Themen: Grundlagen der Elastizitätstheorie, Prinzipien der virtuellen Arbeiten, Energieprinzipien, lineare Stabtheorie, Stabilitätsprobleme, Anstrengungshypothesen, anelastisches Werkstoffverhalten sowie elastoplastisches Materialverhalten bei Stäben, Grundlagen der Plastizitätstheorie einschließlich der Traglastsätze, Näherungslösungen (Methode der finiten Elemente) sowie experimentelle Methoden.

Neu in der 4. Auflage sind Kapitel über Flächentragwerke, über die Fließgelenktheorie und über die Randelementemethode.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Festigkeitslehre ist eine traditionelle Kurzbezeichnung der ingenieurwissenschaftlichen Fachdisziplin Technische Mechanik deformierbarer fester Körper. Bei der Mechanik deformierbarer fester Körper handelt es sich um ein Teilgebiet der Kontinuumsmechanik. Diese beschäftigt sich mit der mathematischen Beschreibung von Verformungen und Kräften, die in ruhenden oder sich bewegenden festen Körpern bzw. Fluiden auftreten. Unter Kontinuum versteht man eine den Raum zusammenhängend ausfüllende Materie. Auf ihre molekulare Struktur wird in der Kontinuumsmechanik nicht oder zumindest nicht direkt eingegangen. Die in der molekularen Struktur der Werkstoffe begründeten physikalischen und chemischen Ursachen des makroskopischen Werkstoffverhaltens werden daher in der Kontinuumsmechanik nicht untersucht.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 2. Mathematische Grundlagen

Zusammenfassung

Zumeist werden in diesem Buch rechtwinkelige kartesische Koordinatensysteme verwendet. Sie sind durch drei zueinander orthogonale Koordinatenachsen $ {x_1},{x_2},{x_3} $ mit dem Ursprung $ {O} $ sowie durch eine gleiche lineare Maßeinteilung auf den Koordinatenachsen festgelegt. In einem solchen Koordinatensystem wird ein beliebiger Vektor v als Linearkombination dreier linear unabhängiger Basisvektoren e₁, e₂, e₃ wie folgt dargestellt (Abb. 2.1):

$$ V = {\upsilon _1}{e_1} + {\upsilon _2}{e_2} + {\upsilon _3}{e_3}. $$

(2.1)

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 3. Grundlagen der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung

Ein deformierbarer fester Körper nimmt im unbelasteten Zustand einen bestimmten Bereich des dreidimensionalen EUKLIDischen Raumes ein. Diese Lage dient im Allgemeinen als Referenzkonfiguration, auf die Lageänderungen des Körpers bezogen werden. Sie wird mit B ₀ bezeichnet (Abb. 3.1). Die belastungsbedingte aktuelle Lage des Körpers wird Momentankonfiguration genannt und mit B _t bezeichnet (Abb. 3.1).

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 4. Prinzipien der virtuellen Arbeiten

Zusammenfassung

Die kinematischen, kinetischen und konstitutiven Gleichungen beziehen sich auf einen beliebigen Punkt eines deformierbaren festen Körpers. Sie stellen somit lokale mechanische Aussagen dar. Im Gegensatz dazu handelt es sich bei mathematischen Formulierungen von Prinzipien der virtuellen Arbeiten um Beziehungen für den gesamten Körper. Solche Formulierungen sind folglich globale mechanische Aussagen.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 5. Energieprinzipien

Zusammenfassung

Der Begriff Energie steht für gespeicherte Arbeitsfähigkeit bzw. für Arbeitsvermögen. Eine von mehreren Energieformen ist die mechanische Energie. Sie setzt sich aus

der Verzerrungsenergie,
dem Potential der äußeren Kräfte und
der kinetischen Energie

zusammen. Die als Verzerrungsenergiedichte bezeichnete spezifische Verzerrungsenergie ist das Potential der Spannungen (siehe Abschnitt 3.3.6). Deshalb wird die Verzerrungsenergie auch Potential der inneren Kräfte bzw. innere Energie genannt.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 6. Lineare Stabtheorie

Zusammenfassung

Die Elastizitätstheorie gilt für Körper von beliebiger Form. Bei Körpern mit stark unterschiedlichen charakteristischen Abmessungen sind wesentliche Vereinfachungen dieser Theorie zulässig.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 7. Prinzipien der virtuellen Arbeiten in der linearen Stabtheorie

Zusammenfassung

Die Komponenten $ {\sigma _y},{\sigma _z} $ und $ {\tau _{yz}} = {\tau _{zy}} $ des Spannungstensors dürfen in der Stabtheorie vernachlässigt werden (siehe Gleichung (6.1)). Dementsprechend folgt der Ausdruck für die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte aus (4.10) zu

$$ \delta {A_{in}} = - {\smallint _V}{\sigma _{ij}}\delta {\varepsilon _{ij}}dV = - {\smallint _V}{\sigma _x}\delta {\varepsilon _x}dV - {\smallint _V}{\tau _{xy}}\delta {\gamma _{xy}}dV - {\smallint _V}{\tau _{xy}}\delta {\gamma _{xy}}dV, $$

(7.1)

wobei von $ \delta {\gamma _{xy}} = 2\delta {\varepsilon _{xy}} $ und $ \delta {\gamma _{xy}} = 2\delta {\varepsilon _{xy}} $ und $ \delta {\gamma _{xz}} = 2\delta {\varepsilon _{xz}} $ Gebrauch gemacht worden ist. In den folgenden Abschnitten dieses Unterkapitels wird das Prinzip der virtuellen Verschiebungen zunächst für axial beanspruchte Stäbe und Fachwerke sowie für auf Biegung beanspruchte Stäbe formuliert.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 8. Lineare Theorie ebener Flächentragwerke

Zusammenfassung

Bei Flächentragwerken ist eine charakteristische Abmessung – die Dicke d – klein im Vergleich zu den beiden anderen Dimensionen. Man unterscheidet zwischen Scheiben, Platten und Schalen. Scheiben und Platten weisen in der unverformten Ausgangslage eine ebene Mittelfläche auf. Deshalb werden sie als ebene Flächentragwerke bezeichnet. Bei Scheiben (Abb. 8.1a) bleibt die Mittelebene bei der Verformung eben. Bei Platten (Abb. 8.1b) erfährt sie hingegen eine Verkrümmung. Die Art der Verformung der Mittelebene folgt aus der Belastung des betreffenden Flächentragwerks.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 9. Stabilitätsprobleme

Zusammenfassung

Bei den bisher behandelten statischen Problemen wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die untersuchte Gleichgewichtslage des betrachteten Körpers stabil ist. Das ist sie im Sinne von LJAPUNOV ^* dann und nur dann, wenn die durch eine hinreichend kleine Störung der Gleichgewichtslage verursachte Bewegung des Körpers für alle Zeiten in einer vorgegebenen Umgebung der Gleichgewichtslage bleibt [Troger/Steindl (1991)]. Einer Zahl $ \varepsilon> 0 $, die diese Umgebung kennzeichnet, ist folglich eine Zahl $ \delta> 0 $ zugeordnet, welche die Begrenzung des Gebietes hinreichend kleiner Störungen der Gleichgewichtslage charakterisiert (Abb. 9.1). Wenn die Störbewegung für $ t \to \infty $ zurück zur ursprünglichen Gleichgewichtslage führt, wird diese Gleichgewichtslage als asymptotisch stabil bezeichnet.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 10. Anstrengungshypothesen

Zusammenfassung

Im Abschnitt 3.3.2 wurde das Verhalten von Werkstoffen bei einaxialer Zug- bzw. Druckbeanspruchung beschrieben. Dabei wurden unter anderem die Begriffe Fließgrenze und Bruchfestigkeit erläutert. Der Fließgrenze kommt bei zähen Materialien große Bedeutung zu. Die Bruchfestigkeit spielt sowohl bei spröden als auch bei zähen Werkstoffen dann eine entscheidende Rolle, wenn die Tragfähigkeit einer Konstruktion zu beurteilen ist. Bei der Klassifikation eines Materials als zäh oder spröd sind auch der Temperaturzustand und die Art der Belastung zu berücksichtigen. Einerseits können sich Materialien, die üblicherweise als zäh eingestuft werden, unter bestimmten Beanspruchungen spröd verhalten. Andererseits können Werkstoffe, die normalerweise als spröd klassifiziert werden, bei bestimmten Beanspruchungen ein hohes Maß an Zähigkeit aufweisen.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 11. Nichtlinear elastisches und anelastisches Materialverhalten

Zusammenfassung

Verlässliche Prognosen des mechanischen Verhaltens von Strukturen auf der Grundlage der linearen Elastizitätstheorie setzen unter anderem die Gültigkeit des verallgemeinerten Hooke’schen Gesetzes (3.254) voraus. Dieses Gesetz ist durch einen linearen Zusammenhang zwischen den Spannungen sowie einer gegebenenfalls vorhandenen Temperaturänderung und den Verzerrungen gekennzeichnet.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 12. Fließgelenktheorie I. Ordnung für Stäbe

Zusammenfassung

Mit der idealisierenden Annahme linear elastischen – ideal plastischen Werkstoffverhaltens wird eine der Voraussetzungen der linearen Stabtheorie – lineare Elastizität – fallen gelassen. Der einschränkende Zusatz „I. Ordnung“ im Titel dieses Kapitels drückt die Aufrechterhaltung der Voraussetzung von geometrischer Linearität in der vorliegenden Fließgelenktheorie aus. Bei linear elastischem – ideal plastischem Werkstoffverhalten ist die Fließgrenze die größte vom Werkstoff aufnehmbare Spannung (Abb. 12.1). Bei Erreichen der Fließgrenze nimmt die Dehnung bei gleich bleibender Spannung weiter zu. Entsprechende Werkstoffgesetze werden vor allem für metallische Werkstoffe mit ausgeprägter Fließgrenze $ {f_y} $, wie beispielsweise naturharte Baustähle, verwendet.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 13. Grundlagen der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung

Analog zum Begriff Elastizitätstheorie verbindet man mit dem Begriff Plastizitätstheorie eine für mehraxiale Spannungszustände konzipierte Theorie. Wenn im Folgenden trotz der Vielfalt solcher Theorien von der Plastizitätstheorie gesprochen wird, geschieht das vor dem Hintergrund bedeutender Gemeinsamkeiten dieser Theorien. Zur Formulierung der Plastizitätstheorie sind weitreichendere Grundlagen als zur Berücksichtigung elasto-plastischen Materialverhaltens bei Stäben erforderlich.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 14. Traglastsätze der Plastizitätstheorie

Zusammenfassung

Mittels der Traglastsätze der Plastizitätstheorie lassen sich untere und obere Schranken für die plastische Kollapslast eines Körpers bei linear elastischem – ideal plastischem Materialverhalten angeben. Wenn diese Last erreicht ist, nehmen die plastischen Verzerrungen ohne weitere Laststeigerung zu. Da der Werkstoff diese Verzerrungen nur in begrenztem Maße aufnehmen kann, kommt es bei der betreffenden Belastung zum Kollaps des Körpers.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 15. Näherungslösungen

Zusammenfassung

Strenge Lösungen für den Verschiebungs- und den Spannungszustand deformierbarer fester Körper sind nur in relativ einfachen Fällen möglich. Mit modernen numerischen Verfahren – vor allem mittels der Methode der finiten Elemente, vielfach aber auch mit Hilfe der Randelementemethode – lassen sich jedoch Festigkeits- bzw. Stabilitätsprobleme, die in früheren Zeiten unlösbar waren, näherungsweise lösen. Die Anwendung dieser beiden numerischen Methoden erfordert den Einsatz der elektronischen Datenverarbeitung. Mit diesen Verfahren können Näherungslösungen für den Verschiebungsund den Spannungszustand von Tragkonstruktionen von komplizierter geometrischer Form und mit komplizierter Lagerung und Beanspruchung bei komplizierten Werkstoffeigenschaften und großen Verschiebungen bzw.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Kapitel 16. Experimentelle Methoden

Zusammenfassung

Ein Hauptanwendungsgebiet experimenteller Methoden in der Mechanik deformierbarer fester Körper sind Werkstoffversuche. Das wesentliche Kennzeichen derartiger Versuche ist die messtechnische Bestimmung mechanischer Eigenschaften von Materialien. Die dabei gewonnenen Messdaten bilden die Grundlage für die Entwicklung von Materialmodellen für realitätsnahe Festigkeitsanalysen technischer Konstruktionen mittels numerischer Verfahren wie der Methode der finiten Elemente. Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet experimenteller Messmethoden sind Versuche an Strukturen. Dabei werden Messungen an Bauteilen und Baukonstruktionen von komplizierter Form und Beanspruchung im Labor bzw. vor Ort durchgeführt. Ziele von Strukturversuchen sind: experimentelle Beanspruchungs- und Deformationsanalysen, Verifizierung analytischer und numerischer Rechenmodelle, Erschließung von Tragreserven von Bauteilen sowie Konstruktionsoptimierung und messtechnische Bestimmung realer Belastungssituationen und geometrischer Randbedingungen.

Herbert A. Mang, Günter Hofstetter

Backmatter

Titel: Festigkeitslehre
verfasst von: Herbert A. Mang
Günter Hofstetter
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-40752-9
Print ISBN: 978-3-642-40751-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-40752-9