Höhere Technische Mechanik

In diesem Kapitel wird ein einheitlicher Aufbau der gesamten Mechanik gegeben. Dazu werden wir von zwei Axiomen ausgehen, die wir Prinzipien nennen werden. Es wurde schon in der „Einführung in die Technische Mechanik“ 1 darauf hingewiesen, daß an eine solche Systematik zweckmäßigerweise erst nach Durchschreiten des historischen Weges gedacht werden sollte, d.h., nachdem die Statik und Dynamik des starren Körpers und die einfachsten Gesetze der festen elastischen Körper aus einigen durch die Erfahrung eingegebenen Axiomen aufgebaut worden sind. Diese Inspiration durch die Erfahrung zu betonen, ist notwendig, denn die oben erwähnten zwei Prinzipien, nämlich das der virtuellen Arbeiten und das von D’Alembert, werden uns auf den ersten Blick weder anschaulich notwendig erscheinen, wie etwa die Axiome der Euklidischen Geometrie, noch werden sie durch die Erfahrung eingegeben, wie z. B. die Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte am starren Körper

Wie wir wissen², ist. der Spannungazustand in einem bestimmten Punkte eines elastischen Körpers durch die Vorgabe von sechs Spannungskomponenten σ_x σ_y, σ_z, τ_xy=τ_yx, τ_xz=τ_zx, τ_yz=τ_zy festgelegt. Mit diesen ist man imstande, den einem beliebig orientierten Flächenelement dF zugeordneten Spannungsvektor ς = {s_x}; s_y; s_z auszudrücken. Wir betrachten hierfür ein differentielles Tetraeder (Abb.9.1). Die Orientierung der Deck- fläche △ ABC = dF ist durch den Normal- einheitsvektor n = {n_x}; n_y; n_z = {cosα; cosβ; cosγ festgelegt, so daß die Projektionen von dF auf die y, z-, x, z- und x, y- Ebene dF _nx = dF cosα, dF n _y = dF cosβ, dF n _z = dF cosγ sind (Abb. 9.2).

In der Elastizitätstheorie konnten wir die Spannungen und Deformationen für bestimmte Körper wie Balken, Platten usw. aus idealisiertem — sog. Hookeschem — Material berechnen. Das Verhalten wirklicher Materialien ist jedoch meist komplizierter: Manche Kupfer- und Aluminiumlegierungen weisen z. B. vom Anfang der Belastung an überhaupt keine Linearität zwischen Spannungen und Deformationen auf; für andere Metalle gilt die Linearität nur bis zur sog. Proportionalitätsgrenze und wird entweder durch einen monoton ansteigenden nichtlinearen Spannungs-Deformationsverlauf oder durch das Fließen — eine Deformationszunahme unter gleichbleibender Spannung — abgelöst. Für den Ingenieur ist es wichtig zu wissen, ob sein Bauwerk oder Maschinenteil bei Erreichen dieses überelastis chen oder sog. plastischen Materialbereiches versagt oder wie weit er es noch belasten kann, ohne daß unzulässig große Deformationen auftreten. Bei allen technologischen Formgebungsverfahren wie z.B. Walzen, Pressen, Schmieden will man dagegen die Kräfte berechnen können, die beim Fließen des bearbeiteten Materials auftreten. Während die bei einer plastischen Ver formung auch nach der Entlastung zurückbleibenden Deformationen für die erste Problemgruppe im allgemeinen höchstens von derselben Größenordnung wie die elastischen sein dürfen, damit das Bauwerk seine Funktionsfähigkeit nicht verliert, sind sie bei der zweiten stets so groß, daß man die elastischen Deformationen gar nicht zu berücksichtigen braucht.

Unter einer idealen Flüssigkeit verstehen wir hier eine solche, bei der keine innere Reibung auftritt1. Reibungsfreie Strömungen der gemäß (18.17) definierten idealen Gase lassen sich wie Strömungen idealer FIüssigkeiten behandeln.