Kanalcodierung

In diesem Kapitel wird dargestellt, welche Bedeutung und welchen Platz die Kanalcodierung in einem digitalen Kommunikationssystem einnimmt Daneben werden wichtige Grundbegriffe wie das Prinzip der Blockcodierung, die Maximum-Likelihood-Decodierung und der asymptotische Codierungsgewinn eingeführt.

Die von Shannon 1948 begründete Informationstheorie zeigt die prinzipiellen Grenzen und Möglichkeiten der Codierung auf, wobei Shannon sowohl Kanalcodierung, Quellencodierung und kryptographische Codierung betrachtet hat. In diesem Kapitel wird nur die Informationstheorie der Kanalcodierung dargestellt mit Beschränkung auf den diskreten gedächtnislosen Kanal (DMC). Obwohl bisher die Blockcodes nur ganz knapp behandelt wurden, sind die Ergebnisse von Shannon dennoch schon mit diesen geringen Grundlagen verständlich.

Sowohl zur Konstruktion wie auch zur rechentechnisch günstigen Encodierung und Decodierung ist eine algebraische Struktur auf der Codemenge erforderlich. Bei linearen Codes wird im wesentlichen nur gefordert, daß die Summe zweier Codewörter auch wieder ein Codewort ist. Bei zyklischen Codes kommen später noch weitere Forderungen hinzu.

Das Prinzip der ML-Decodierung, die informationstheoretischen Grenzen und die prinzipielle Leistungsfähigkeit von Blockcodes sowie die Berechnung der Fehlerwahrscheinlichkeit bei codierter Übertragung konnten in den vorangehenden Kapiteln allein mit der aufzählenden Beschreibung eines Blockcodes dargestellt werden.

Die zyklischen Codes entstehen als Teilmenge der linearen Codes, indem der Codemenge neben der Linearität noch eine zusätzliche Struktur aufgeprägt wird. Damit können sehr leistungsfähige und komplizierte Codes mit guten Distanzeigenschaften konstruiert und kompakt beschrieben werden. Die Encodierung und die Berechnung des Syndroms erfolgen einfach mit rückgekoppelten Schieberegistern. Die Decodierung vereinfacht sich so stark, daß praktisch fast nur zyklische Codes verwendet werden.

Für die im nächsten Kapitel behandelten hochentwickelten algebraischen Blockcodes sind vertiefte Kenntnisse der algebraischen Grundlagen erforderlich. Für die linearen und zyklischen Blockcodes haben sich die simplen Erklärungen aus Abschnitt 3.1 zu Galoisfeldern und Vektorräumen zwar als ausreichend erwiesen, aber die RS- und BCH-Codes erfordern ein detaillierteres Verständnis wichtiger algebraischer Strukturen.

Die in den vorangehenden Kapiteln eingeführten Codeklassen können schnell aufgezählt werden: Hamming-Codes und dazu duale Simplex-Codes, Wiederholungscodes und dazu duale Parity Check Codes, CRC-Codes zur Fehlererkennung, Fire-Codes sowie einige weitere Codes zur Korrektur eines Bündelfehlers. Ein analytisches Konstruktionsverfahren für wirklich gute Codes wurde bisher noch nicht angegeben.

Faltungscodes bilden neben den Blockcodes die zweite große Klasse von Codes zur Kanalcodierung. In gewisser Weise können Faltungscodes und Blockcodes zwar als formal identisch angesehen werden, aber in der Beschreibung, in den Eigenschaften und in der Decodierung unterscheiden sich beide Codeklassen ganz erheblich. Als wesentliche Unterschiede zwischen Blockcodes und Faltungscodes sind folgende Punkte zu nennen:

Bereits 1974 hat Massey [123] die Vermutung formuliert, daß durch die gemeinsame Behandlung und Optimierung von Codierung und Modulation erhebliche Gewinne gegenüber der klassischen Kanalcodierung zu erwarten sind. Ein erstes praktisches Verfahren dazu wurde 1977 von Imai und Hirakawa [112] vorgeschlagen. Erst mit der Arbeit von Ungerböck [138] begann innerhalb kurzer Zeit unter dem Begriff trelliscodierte Modulation (TCM) der Siegeszug von einem theoretischen Konzept zur weltweiten Anwendung. Übertragungsverfahren auf TCM-Basis haben inzwischen in so unterschiedlichen Bereichen wie beispielsweise bei Modems für den Telefonkanal, im Mobilfunk für Fadingkanäle sowie bei der Satellitenkommunikation ihre Leistungsfähigkeit bewiesen.

Dieses Kapitel enthält eine Reihe wichtiger Ergänzungen: Bei vielen Anwendungen insbesondere im Bereich des Mobilfunks liegen Fadingkanäle vor, für die geeignete Interleaving-Verfahren sowie Blockcodes und trelliscodierte Modulation diskutiert werden. Anschließend werden drei weitere Anwendungen des Viterbi-Algorithmus zur ML-Decodierung bei Systemen mit Trellisstruktur vorgestellt, nämlich zur Entzerrung der bei vielen Anwendungen vorliegenden Kanäle mit Intersymbol-Interferenzen, zum optimalen Empfänger bei Continuous Phase Modulation sowie zur Soft-Decision Decodierung von Blockcodes. Mit Produktcodes, der Codeverkettung und der Summenkonstruktion werden drei Methoden zur Generierung leistungsfähiger Blockcodes aus einfachen Blockcodes eingeführt.

In fast allen modernen Kommunikationssystemen werden Verfahren der Kanalcodierung eingesetzt. Ein vollständiger Überblick würde den Rahmen dieses Buches sprengen. Deshalb werden in diesem Kapitel nur einige wenige Anwendungen besprochen, die aber die Vielfalt der Codierungsverfahren dennoch einigermaßen repräsentieren.