Kurven erkunden und verstehen

Dieses Buch befasst sich mit Kurven in ihren vielfältigen Erscheinungsformen. Den Bogen von der konstruierenden Geometrie der Griechen zu Darstellungen in einem kartesischen Koordinatensystem haben als Erste die Mathematiker der Barockzeit geschlagen. Später wurden die immer weiter entwickelten Methoden der Analysis auf Kurven angewendet, bis – vor allem im 19. Jahrhundert – mit Hilfe von ursprünglich geometrischen Kurven technische Probleme gelöst wurden. Heute bietet die Verwendung von Computern nicht nur eine schnelle Darstellungsmöglichkeit von Kurven, sondern die dynamischen Mathematiksysteme (vor allem GeoGebra) und Computer-Algebra-Systeme erlauben auch die Erkundung von Varianten, Weiterentwicklungen und die Verfolgung eigener Ideen auf vielen mathematischen Ebenen. Durch die im Buch gezeigten Überlegungen, Herleitungen, Beweise und Querverbindungen können die Leser mathematisches Handwerk in einer verständnisgeleiteten Weise entwickeln. Die geometrischen Elemente aller Kapitel erschließen sich schon ab Klasse 7. Anderes wird in Mittel- und Oberstufe oder im mathematikhaltigen Studium fruchtbar. Ein Werkzeugkasten und ein Analysis-Anhang bieten Hilfen, ebenso die Verfügbarkeit aller etwa 300 GeoGebra-Dateien auf der Website zum Buch.

Lehrkräfte in Schule und Hochschule, ihre Adressaten jeden Alters und interessierte Laien können mit diesem Buch ein faszinierendes Kapitel der Mathematik erkunden und verstehen.

In meinem Keller habe ich etliche geerbteWerkzeuge. Wenn ich ein Handwerksproblem habe, sehe ich nach, ob es nicht ein gut passendes Werkzeug dafür gibt. So ähnlich stelle ich mir Ihren Umgang mit diesem Werkzeugkasten vor. Widmen Sie sich einer Kurvenfamilie und sehen Sie hier nach, wenn Ihnen die Erklärungen dort nicht reichen oder wenn Sie weitere Ideen haben und dafür nach Möglichkeiten suchen. Hier sind Grundelemente dargestellt, die bei den einzelnen Kurven nicht jedes Mal neu erklärt werden konnten.

Sollten Sie noch wenig mathematische Erfahrung haben, dann lesen Sie hier „sanfte Einführungen“. Sie sollten aber den Mut haben, Abschnitte zu überspringen, die bei Ihnen noch nicht auf „fruchtbaren Boden“ fallen. Zwei Ausnahmen gibt es von dieser generellen Empfehlung: Erstens: Grundbegriffe wie Kurve, Kurvengleichung, algebraisch, transzendent werden nur hier erklärt.

Zweitens: Die Tipps zu GeoGebra helfen wirklich.

Dieses Kapitel führt bei den Konchoiden und Pascal’schen Schnecken, den Strophoiden und Cissoiden zunächst jeweils die „klassischen Konstruktionen“ vor und leitet ihre Gleichungen in implizit-kartesischer und polarer Form her. Polargleichungen, die ja nicht mehr Schulstoff sind, werden durch die polar-kartesische Darstellung sorgfältig betrachtet und dem Verstehen zugänglich gemacht. Auf verschiedenen Wegen wird nachgewiesen, ob zwei unterschiedlich konstruierte Kurven „gleich“ sind oder nicht. Alle diese Konstruktionen sind elementar und schon im Zusammenhang mit den ersten geometrischen Grundbegriffen wie Kreis, Senkrechte und Schnittpunkt durchführbar. Die Arbeit von Hand ist bei jungen Lernenden ein Einstieg, dann aber zeigt sich die Kraft des Ortslinien-Werkzeugs von GeoGebra, das auf die Variation der Ausgangsparameter reagiert.

Anschließend werden jeweils allgemeinere Definitionen gegeben, die zunächst Varianten bieten und dann ganz eigenen Kreationen Tür und Tor öffnen. Z. B. ist die Kurve auf dem Cover eine Konchoide der Parabel. Es wird sich zeigen, dass die allgemeine Cissoide alle anderen dieser klassischen Kurven umfasst. Am Ende werden bespielhafte Analysis-Fragestellungen bei Kurven behandelt.

In der Barockzeit hat die Beschäftigung mit Kurven tatsächlich besondere Blüten hervorgebracht und Früchte getragen. Motor dieser Entwicklung war die Einführung von kartesischen Koordinaten und der Aufbau algebraischer Methoden. Der Versiera, der Neil’schen Parabel und anderen Kubiken, den Cassini’schen Kurven und den Lemniskaten ist jeweils ein großer Abschnitt gewidmet. Dabei bieten die historischen Kurven den Anlass mit heutiger Sichtweise und modernen Werkzeugen weiter vorzudringen, als es damals möglich war. Es werden Rotationsvolumina der Versiera betrachtet, Newtons systematische Betrachtung der Kubiken wird mit üblichem Schulwissen über Polynome dritten Grades verknüpft, die Cassinischen Kurven werden in die allgemeineren bipolaren Kurven eingebettet. Auch letztere kann man mit gekoppelten Grafik-Fenstern besser verstehen. Die Bernoulli’sche Lemniskate hat interessante Analysis-Eigenschaften. Sie bildet auch den Einstieg in einen großen Abschnitt über Gelenkkonstruktionen, der auch die handwerklichen Konstruktionen der Kegelschnitte enthält. Hier finden sich ausfühlich die technischen Anwendungen der Kurven im „Maschinen-Zeitalter“.

Obwohl in den Kapiteln 3 und 4 schon jede Kurvenfamilie ein „offenes Ende“ hatte, das zur eigenen Kreation neuer Familienmitglieder einlud, gehen wir in diesem Kapitel noch einige Schritte weiter in die „Freiheit“. Es werden geometrische Konstruktionen frei erfunden und die Leserschaft wird angeregt, mathematische Fragen dazu stellen und möglichst selbst zu beantworten. Ein weites Feld bietet die Variation oder freie Erfindung von Gleichungen mit (Form-)Parametern und die Betrachtung der zugehörigen Kurven. Mathematisches Argumentieren ist nötig, um eine solche Kurvenfamilie zu beschreiben, Asymptoten und Grenzfälle zu betrachten u. Ä.

Besondere Impulse gibt die Betrachtung der Raumflächen zu den klassischen und barocken Kurven und deren Schnitte mit zur Grundfläche parallelen Ebenen, den entsprechenden 3D-verwandten Kurven. Die Raumverwandten der Produkte algebraischer Kurven hat schon Felix Klein untersucht, hier werden sie mit 3D-Werkzeugen auch Lernenden zugänglich. Die klassischen Quadriken (Kegelschnitt-Körper) und dazu Rotationsvolumina runden mit Körpern aus Rosetten und Lemniskaten das Kapitel ab. Es ergeben sich viele Möglichkeiten für eigene Untersuchungen.

Die Griechen haben beim geometrischen Konstruieren nur Zirkel und Lineal zugelassen. Über zweieinhalb Jahrtausende hat sich diese Spielregel erhalten. Aber man kann natürlich auch anders zu geometrischen Ergebnissen kommen, zum Beispiel mit der Nutzung des Geodreiecks für Senkrechten oder des Werkzeugvorrates eines Geometriesystems. Auch rechnerische Lösungen sind möglich und naheliegend. Nur dann spielt man eben ein anderes Spiel. Das tat man ganz bewusst auch schon in der Antike, als man mit Kurven – wie sie vor allem Kapitel 3 bietet – Lösungen für die berühmten Probleme erzeugte. Aber man wusste, dass man keine Lösung mit Zirkel und Lineal gefunden hatte. Das Kapitel zeigt, dass sich alle Zahlen konstruieren lassen, die aus rationalen Zahlen und beliebigen Quadratwurzel-Schachtelungen aus ihnen mit den vier Grundrechenarten gebildet sind. Dass andere Zahlen, z. B. die dritte Wurzel aus 2, nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, ist ein tiefliegendes Problem der Algebra, das hier soweit es geht verständlich gemacht wird. Winkel dritteln, Würfel verdoppeln, n-Eck konstruieren und Kreis quadrieren werden ausführlich betrachtet. Das Verwenden eines Parabellineal ermöglicht „Quasikonstruktionen“. Archimedes aber löste die Quadratur der Parabel.

Die Kegelschnitte sind unbestritten die wichtigste Klasse algebraischer Kurven. Sie sind auch die einfachste, denn alle Kurven vom Grad 2 zählen dazu. Sie lassen aber auch weniger Raum für Eigenes als andere Kurven in diesem Buch. Da aber sogar die Kegelschnitte aus dem Curriculum verschwunden sind, ist es an der Zeit, dass hier eine Möglichkeit geboten wird, sich mit ihnen und ihren vielfältigen Eigenschaften vertraut zu machen. Für Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln gibt es mehrere geometrische Konstruktionen, bei denen alle drei Typen erscheinen. Diese gemeinsame Sicht, die auch die Gleichungen betrifft, bildet den Schwerpunkt dieses Kapitels. Der Beweis, dass das Schneiden eines Kegels wirklich zu den „Kegelschnitten“ führt, wird über die Fadenkonstruktionen und die Dandelin’schen Kugeln geleistet, aber auch das „Namensgeheimnis“ der Worte Ellipse, Parabel und Hyperbel wird gelüftet. Den Anwendungen der Kegelschnitte, inbesondere ihrer Reflexions- und Projektionseigenschaften wird breiter Raum gegeben. Krümmungsbetrachtungen und Aufgaben runden das Kapitel ab.ern und zu seinem Zeitgenossen Archimedes finden Sie etwas in Abschnitt 6.7. Interessantes zu den Übersetzungen kann man in einer Schrift von [Nix 1889] lesen. Die acht Bücher von Apollonius sind im Internet in deutscher Übersetzung verfügbar [Balsam 1861]. Ich habe ein Reprint aus Indien. In beeindruckender Sorgfalt reihen sich auf über 400 Seiten Definitionen, Konstruktionen, Lehrsätze und Beweise aneinander. Aber diese rein geometrische Sicht kann heute nicht mehr unser Weg sein. Wir verbinden Geometrie gern mit algebraischen und analytischen Sichtweisen. Zudem stehen uns Visualisierungswerkzeuge zur Verfügung, die unser mathematisches Verständnis befördern und uns anregen, Begründungen und Beweise in Vernetzung und Querverbindung aller Sichtweisen zu suchen. Das erste Buch, das diese Möglichkeiten für die Kegelschnitte aufgreift, ist [Schupp 2000].

Dieses Kapitel versammelt Kurven, die im weiteren Sinn durch „Drehen“ entstehen. Naturgemäß eignen sich besonders Polarkoordinaten und die polar-kartesische Darstellung, um die Phänomene zu verstehen. Da Polarkoordinaten und Parameterdarstellungen auch auf Taschenrechnern einfach verfügbar sind, ist die Behandlung von Spiralen und Rosetten elementar und dennoch sehr ergiebig. Die archimedische Spirale, Argumentationen und kleine Beweise zu ihren Eigenschaften bilden den Anfang. „Die“ Spirale der Natur, die viele Namen hat - darunter spira mirabilis - gibt Anlass zu allerlei Überraschungen. Eine Systematisierung der Spiralen erfolgt über den Typ der Radiusfunktion und knüpft somit an die Schulmathematik an. Zykloiden aller Art und Rollkurven im Allgemeinen werden ausführlich behandelt. Zu den Schwingungen zählen nicht nur die trigonometrischen Funktionen im Zusammenhang mit dem Einheitskreis, sondern auch die Lissajouskurven. Für sie wird eine 3D-Sicht vorgestellt, die die Vielfalt verstehbar macht.

In diesem Kapitel liegt der Schwerpunkt auf den verschiedenen Handlungsweisen, die Kurven erzeugen. Zum Beispiel lassen sich einige der berühmten Kurven aus den Kapiteln 3 und 4 auch als Fußpunktkurven erzeugen. Die Konstruktionsprinzipien: Fußpunktkurve, Hüllkurve der Normalenschar (Evolute), Parallelkurve, Kaustik (Brennlinie bei Reflexion) und Inversion am Kreis lassen sich auf jede Kurve anwenden und erzeugen wieder neue Kurven. Der Vielfalt sind keine Grenzen gesetzt und es tauchen viele Verflechtungen unter bekannten Kurven auf. Für die Behandlung der auftretenden Phänomene, z. B. der allgemeinen Hüllkurven von Kurvenscharen, werden sowohl geometrische als auch analytische Strategien entwickelt. Als Vertreter der „Exotenkurven“, die sich keinem allgemeinen Prinzip unterordnen, werden die für den Straßenbau wichtige Klothoide, die Traktrix (Schleppkurve) und die Kettenlinie ausführlich vorgestellt.

Es geht um grundlegende Gedanken zur Didaktik der Kurven in heutiger Zeit. Das heißt: unter Einsatz von Werkzeugen für Mathematik, die sowohl geometrische Konstruktionen als auch algebraische und analytische Vorgehensweisen unterstützen, sollen durch eine möglichst selbstgesteuerte, freie Behandlungsweise mathematische Handlungskompetenzen entwickelt werden. Dazu gehören sowohl vielfältige Prüf- und Beweisstrategien als auch händisches Arbeiten und Argumentieren. Wie in jeder anderen Kunst sollen die Adressaten auch in Mathematik eigene Kreationen entwickeln, verstehen und ansprechend präsentieren können.

Das Kapitel fasst die an Ort und Stelle in den Kurvenkapiteln gegebenen Hinweise für eine alters- und lernstandsgemäße Einordnung systematisch zusammen. Das Blackbox-Whitebox-Prinzip wird erläutert. Die Begabtenförderung , die Lehrerausbildung und andere Studiengänge werden angespochen. Letztlich aber kann sich jeder durch das Erkunden und Verstehen von Kurven für Mathematik begeistern lassen.

Die Analysis ist ein so großes und in Schule und Hochschule so wesentliches Gebiet, dass es auch in diesem Buch zum Tragen kommen soll. Dabei verwende ich eine pragmatische Schreibweise, bei der mit dem großen griechischen Delta Δ stets kleine Differenzen der darauf folgenden Größe bezeichnet werden. Δr ist eine kleine Änderung des Polarradius’, Δθ eine kleine Winkeldifferenz u. s. w. Das Konzept der Analysis, genauer der „Infinitesimalrechnung“, ist es, diese kleinen Differenzen durch einen Grenzprozess ad infinitum zum unendlich Kleinen, zu Differenzialen werden zu lassen. Aus Δr wird dann dr, aus Δθ wird dθ u. s.w. Diese hilfreiche und übersichtliche Darstellungsweise wird an anderen Stellen eines Analysislehrganges adressatengemäß abgesichert durch Betrachtung „ordentlicher“ Grenzwerte. Thematisch geht es um Steigung und Ableitung, Flächen und Rotationsvolumina, Bogenlängen und Krümmungen. Dabei werden nicht nur Formeln zusammengestellt, sondern sie werden auch verstehbar dargeboten und in der oben genannten Weise bewiesen.