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2017 | Buch

Einführung Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Signalverarbeitung

Analoge und digitale Signale, Systeme und Filter

verfasst von: Prof. Dr. Martin Meyer

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet eine fundierte Einführung in die klassische Theorie der Signalverarbeitung, wobei der Schwerpunkt auf den digitalen Methoden liegt. Der Leser wird befähigt, analoge und digitale Systeme und Filter zu analysieren und zu dimensionieren. Auch die digitale Spektralanalyse wird ausführlich besprochen. Viele durchgerechnete Beispiele ermöglichen das Selbststudium, mit Rechnerunterstützung lässt sich zudem der Stoff veranschaulichen und vertiefen.Umfangreiche Zusatzinformationen sind auf der Webseite des Verlags erhältlich und unterstützen den autodidaktisch arbeitenden Leser. Diese Ergänzungen umfassen weitere Beispiele zur behandelten Materie sowie drei zusätzliche Kapitel.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
1. Einführung
Zusammenfassung
Dieses Einführungskapitel gibt einen Überblick über die Arbeitsweise der Signalverarbeitung. Grundbegriffe wie Signal, Information und System werden geklärt und die linearen und zeitinvarianten dynamischen Systeme (LTI-Systeme) definiert. Diese LTI-Systeme sind zwar theoretisch gesehen Spezialfälle, in der Praxis kommen sie aber so häufig vor, dass sich der Aufbau einer „Spezialtheorie“ lohnt. Es wird gezeigt, dass sich die Systeme mit Hilfe von speziellen Signalen (z.B. der Stossantwort) beschreiben lassen, Signale und Systeme sind also mathematisch gesehen verwandt.
Es folgt ein Abriss über die Systembeschreibung und der Zusammenhang zwischen der Systembeschreibung im Zeitbereich mit Differentialgleichungen und jener im Bildbereich mit Hilfe der Fourier- und Laplace-Transformation wird aufgezeigt. Dadurch wird ersichtlich, dass diese mathematischen Konzepte massgeschneiderte Werkzeuge für die Signalverarbeitung sind. Das ist auch die Begründung, weshalb diese Transformationen in den Folgekapiteln genau betrachtet werden.
Martin Meyer
2. Analoge Signale
Zusammenfassung
Analog ist alt, digital ist modern. Das ist zwar richtig, mathematisch betrachtet wächst aber die Theorie der digitalen Signale aus jener der analogen Signale heraus. Es ist also kein Ballast, die analogen Signale zu behandeln.
Nach der Klassierung der Signale in verschiedene Gruppen folgen die drei wichtigen Signalbeschreibungen im Bildbereich, nämlich Fourier-Koeffizienten („Fourierreihe“), Fourier-Transformation und Laplace-Transformation. Diese drei Transformationen sind eng verwandt und es ist eine grosse Vereinfachung, wenn man diese Verwandtschaft erkennt.
Die Darstellungen nach Fourier sind anschaulich interpretierbar als Spektrum, jene nach Laplace werden sich später als sehr handlich für die Systembeschreibung erweisen (Systeme sind ja spezielle Signale!). Die Fourier-Transformation ist die wichtigste Funktionentransformation, wird darum ausführlich betrachtet und dabei ein spezieller Akzent auf die Abbildungseigenschaften gelegt.
Martin Meyer
3. Analoge Systeme
Zusammenfassung
Auch hier gilt: die Theorie der analogen Systeme und jene der digitalen Systeme sind eng verwandt. Es ist also berechtigt, den analogen Systemen ein Kapitel zu widmen.
Je nach momentaner Aufgabenstellung (Analyse, Synthese, Dimensionierung, Messung usw.) sind unterschiedliche Werkzeuge passend. Deshalb werden mehrere Arten für die Systembeschreibung eingeführt: Impulsantwort, Schrittantwort, Frequenzgang, Bode-Diagramm, Übertragungsfunktion und Pol-Nullstellen-Schema. Diese Beschreibungsarten sind äquivalent, d.h. ineinander umrechenbar. Die Frage ist also nicht, welche Variante die Beste ist, sondern welche im Moment am besten geeignet ist.
Im Hinblick auf die Filter werden ein paar spezielle Systeme betrachtet. Eine allgemeine Übersicht über die Systembeschreibung rundet das Kapitel ab.
Martin Meyer
4. Analoge Filter
Zusammenfassung
Aus zwei Gründen werden die analogen Filter behandelt:
  • Im Kapitel 5 werden wir sehen, dass jedes digitale System am Eingang und am Ausgang je ein analoges Filter aufweist. Das erste ist das Anti-Aliasing-Filter, es garantiert die Einhaltung des Abtasttheorems. Das zweite ist das Glättungsfilter, welches das periodische Spektrum der abgetasteten Signale beschränkt (Rekonstruktion).
  • Viele digitale Rekursivfilter werden durch eine Transformation aus einem analogen Vorbild erzeugt. Die Theorie der analogen Filter ist somit Voraussetzung für die Theorie dieser Klasse von Digitalfiltern.
Filter sind frequenzabhängige Systeme, die bestimmte Frequenzbereiche des Eingangssignales passieren lassen, andere Frequenzbereiche hingegen sperren: Tiefpässe, Bandpässe, Hochpässe und Bandsperren. Einmal mehr ist die Theorie kompakt und modular: die Tiefpässe bilden die Urform, alle andern Filterarten werden durch eine Frequenztransformation daraus erzeugt.
Aus Kausalitätsgründen gibt es keine idealen Tiefpässe, man kann diese nur näherungsweise realisieren, wozu man unterschiedliche Approximationsarten benutzt (Butterworth, Tschebyscheff usw.).
Martin Meyer
5. Digitale Signale
Zusammenfassung
In diesem Kapitel bauen wir auf dem Kapitel über analoge Signale auf und betrachten die zeitdiskreten Varianten der Funktionaltransformationen:
  • Die Fourier-Transformation für abgetastete Signale (FTA). Eigentlich ist das gar keine neue Transformation, sondern die bekannte Fourier-Transformation angewandt auf eine spezielle Signalklasse, was auf periodische Spektren führt.
  • Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) entsteht aus einer Abtastung des FTA-Spektrums und beschränkt damit die Informationsmenge auf einen rechnertauglichen, endlichen Umfang.
  • Die schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist lediglich ein hocheffizienter Algorithmus zur Berechnung von N DFTs.
  • Die z-Transformation ist die zeitdiskrete Version der Laplace-Transformation und wird zur Beschreibung zeitdiskreter Systeme benutzt.
Wir kennen nun zahlreiche Funktionaltransformationen, die alle eng miteinander verwandt sind. Ein spezieller Abschnitt gibt eine Übersicht und macht eine Gegenüberstellung dieser Transformationen.
Ausführlich wird die breit angewandte Spektralanalyse von Signalen mit Hilfe der DFT/FFT behandelt. Zwei unabänderliche Gegebenheiten kommen dabei in die Quere: zum einen das Zeit-Bandbreite-Produkt der Fourier-Transformation (Unschärferelation) und zum andern der Informationsverlust durch die Abtastung des Spektrums bei der DFT. Diese Randbedingungen müssen je nach Signalklasse anders berücksichtigt werden, um ein aussagekräftiges Signalspektrum zu erhalten.
Martin Meyer
6. Digitale Systeme
Zusammenfassung
Digitale Systeme bieten gegenüber analogen Systemen gewaltige Vorteile punkto Dynamik, Störanfälligkeit, Stabilität, Reproduzierbarkeit, Simulierbarkeit, Flexibilität und Realisierungsaufwand (Kosten).
Mit der Vorarbeit aus dem Kapitel über analoge Systeme ist es ein kleiner Schritt, die digitalen Varianten zu erarbeiten. Häufig werden nämlich die digitalen Systeme ausgehend von einem analogen Vorbild dimensioniert. Das heisst man nimmt die Übertragungsfunktion des analogen Vorbildes (Laplace-Transformation) und bildet diese in den zeitdiskreten Bereich ab (z-Transformation). Dabei tritt wieder eine prinzipielle Schwierigkeit auf: diese Transformation ist signalspezifisch, d.h. nicht für alle Eingangssignale ist die Abbildung korrekt. Es gibt darum zahlreiche Schattierungen dieser z-Transformation, am häufigsten benutzt werden die impulsinvariante z-Transformation und die bilineare z-Transformation.
Punkto Struktur gibt es zwei Klassen von digitalen Systemen:
  • Rekursive Systeme (IIR-Systeme), die dem analogen Vorbild entsprechen. Diese Systeme weisen Rückkopplungen auf und sind darum sehr effizient («Turbolader»).
  • Nichtrekursive Systeme (Transversale Systeme, FIR-Systeme), die kein analoges Vorbild haben und deshalb neue Eigenschaften aufweisen: dank fehlender Rückkopplungen unbedingte Stabilität sowie einfach realisierbare Phasenlinearität. Allerdings wird dies mit einem höheren Aufwand (Systemordnung) erkauft.
Martin Meyer
7. Digitale Filter
Zusammenfassung
In diesem abschliessenden Kapitel betrachten wir die Synthese von Digitalfiltern, wegen ihrer unterschiedlichen Natur unterteilt in IIR-Filter und FIR-Filter. Für beide Filterarten lernen wir analytische und numerische Methoden der Synthese kennen und stellen die Resultate einander gegenüber.
Prinzipielle Schranken treten hier gleich mehrfach auf: die Unschärferelation der Fourier-Transformation, Einschränkungen durch nur endlich hohe Filterordnung und das Fehlen einer universellen (d.h. vom Eingangssignal unabhängigen) Transformation vom analogen in den zeitdiskreten Bereich. Die Filtersynthese (ganz allgemein das Systemdesign) ist also nicht die Suche nach der richtigen (idealen) Lösung, sondern die Suche nach dem optimalen Kompromiss. Dies erfordert, mehrere Varianten zu untersuchen, was mit den heutigen Tools aber keine Schwierigkeit darstellt. Viel schwieriger ist es, herauszufinden, was man im Moment wirklich an Spezifikationen benötigt.
Martin Meyer
Backmatter
Metadaten
Titel
Signalverarbeitung
verfasst von
Prof. Dr. Martin Meyer
Copyright-Jahr
2017
Electronic ISBN
978-3-658-18321-9
Print ISBN
978-3-658-18320-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-18321-9

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