Maß- und Integrationstheorie

verfasst von: Jürgen Elstrodt

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Springer-Lehrbuch

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch vermittelt dem Leser ein solides Basiswissen, wie es für weite Bereiche der Mathematik unerläßlich ist, insbesondere für die reelle Analysis, Funktionalanalysis, Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Thematische Schwerpunkte sind Produktmaße, Fourier-Transformation, Transformationsformel, Konvergenzbegriffe, absolute Stetigkeit und Maße auf topologischen Räumen. Höhepunkte sind die Herleitung des Rieszschen Darstellungssatzes mit Hilfe eines Fortsetzungsresultats von Kisynski und der Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes. Ferner enthält das Buch einen Abschnitt über Konvergenz von Maßen und den Satz von Prochorov. Der Text wird aufgelockert durch zahlreiche mathematikhistorische Ausflüge und Kurzporträts von Mathematikern, die zum Thema des Buches wichtige Beiträge geliefert haben. Eine Vielzahl von Übungsaufgaben vertieft den Stoff.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel I. σ-Algebren und Borelsche Mengen

Zusammenfassung

In diesem ersten Kapitel beschäftigen wir uns mit Systemen von Mengen, die als Definitionsbereiche für die in Kapitel II einzuführenden Inhalts- und Maβfunktionen in Betracht kommen. Daβ hier der Wahl angemessener Definitionsbereiche eine erhebliche Bedeutung zukommt, ergibt sich aus den Paradoxien, die sich im Zusammenhang mit dem sog.

Jürgen Elstrodt

Kapitel II. Inhalte und Maße

Zusammenfassung

Die wichtigste Eigenschaft des elementargeometrischen Volumenbegriffs ist die Additivität: Das Volumen der disjunkten Vereinigung endlich vieler Mengen ist gleich der Summe der Volumina der Teilmengen. Beim Aufbau einer axiomatischen Theorie von Inhalt und Maß wird diese Eigenschaft als Axiom an die Spitze gestellt.

Jürgen Elstrodt

Kapitel III. Meßbare Funktionen

Zusammenfassung

Meßbare Funktionen sind für die Integrationstheorie von entscheidender Bedeutung, da als Integranden nur meßbare Funktionen vorkommen. Um den Begriff der Meßbarkeit von Funktionen zu motivieren, erinnern wir kurz an den Begriff des Riemann-Integrals und stellen ihm die Ideen gegenüber, die Lebesgue zur Einführung seines Integralbegriffs dienen.

Jürgen Elstrodt

Kapitel IV. Das Lebesgue-Integral

Zusammenfassung

Bei der Einführung des Integralbegriffs folgen wir einem Weg, der im wesentlichen von W.H. Young vorgeschlagen wurde und der sich auf die Benutzung monotoner Folgen stützt. Dieser Zugang zeichnet sich dadurch aus, daß von vornherein auch unbeschränkte Funktionen und Maßräume unendlichen Maßes ohne jeden Mehraufwand einbezogen werden, und die konstruktive Integraldefinition liefert automatisch für viele Aussagen einen effizienten Beweisansatz.

Jürgen Elstrodt

Kapitel V. Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel

Zusammenfassung

Das folgende Kapitel ist vornehmlich der Diskussion „mehrfacher“ Integrale gewidmet. Zentrale Sätze sind der Satz von Fubini und die Transformationsformel. Der Satz von Fubini gestattet die Reduktion mehrfacher Integrale auf einfache. Die Transformationsformel ist das p-dimensionale Analogon der Substitutionsregel für das Riemann-Integral.

Jürgen Elstrodt

Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Maß- und Integrationstheorie

Zusammenfassung

Alle Bedingungen b)–e) aus Lemma 1.1 haben einleuchtende geometrische Bedeutungen: b) bringt zum Ausdruck, daß der Graph von φ in [x, y] unterhalb der Strecke von (x, φ(x)) nach (y, φ(y)) verläuft, c) besagt, daß die Steigung t ↦ (φ(t) – φ(x))/(t – x) für t > x monoton wächst, etc. – Zum Beweis von Lemma 1.1 zeigt man, daß alle angegebenen Bedingungen zu b) äquivalent sind. Wir überlassen diesen elementaren Nachweis dem Leser.

Jürgen Elstrodt

Kapitel VII. Absolute Stetigkeit

Zusammenfassung

In seinen mathematischen Arbeiten wendet sich Hahn zunächst im Anschluß an Untersuchungen von G. von Escherich der Variationsrechnung zu. Bedeutende Beiträge liefert er zur Mengenlehre und Topologie (Charakterisierung der stetigen Bilder einer Strecke; s. Bemerkungen nach Satz II.9.9). Eine besondere Meisterschaft entwickelt Hahn auf dem Gebiet der reellen Funktionen (Hellinger-Integral, Riemann-Integral und Lebesgue-Integral, Darstellung von Funktionen durch singuläre Integrale, Satz von Parseval für vollständige Orthonormalsysteme, Fourier-Reihen, Fouriersche Umkehrformel, Produkte abstrakter Maßräume).

Jürgen Elstrodt

Kapitel VIII. Maße auf topologischen Räumen

Zusammenfassung

Es liegt in der Natur der Sache, daß wir in Kap. VIII beim Leser mehr Kenntnisse aus der mengentheoretischen Topologie voraussetzen müssen als in den vorangehenden Kapiteln. Die Bücher von v. Querenburg [1] und Schubert [1] sind bei Bedarf zuverlässige Ratgeber. Wir rekapitulieren die zugrundegelegte Terminologie und einige grundlegende Sachverhalte in Anhang A.

Jürgen Elstrodt

Backmatter

Titel: Maß- und Integrationstheorie
verfasst von: Jürgen Elstrodt
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-17905-1
Print ISBN: 978-3-642-17904-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-17905-1