Mathematik für Naturwissenschaftler

In diesem einführenden Kapitel werden die reellen und die komplexen Zahlen mit ihren wesentlichen Eigenschaften vorgestellt. Weiter führen wir den Funktionsbegriff ein und behandeln dann einige einfache Funktionen, die schon aus der Schule bekannt sind.

Das ganze Gebäude der Differential- und Integralrechnung ruht auf den grundlegenden Begriffen Konvergenz und Grenzwert, die selbst wiederum mit Hilfe der Zahlenfolgen formuliert werden. Im ersten Abschnitt dieses Kapitels sollen daher die für alles Weitere unentbehrlichen Begriffe und Aussagen bereitgestellt werden, welche mit Zahlenfolgen zusammenhängen.

Wir haben bisher in einzelnen Abschnitten und Beispielen schon eine ganze Anzahl von Funktionen und zum Teil auch deren Eigenschaften kennengelernt. In diesem Kapitel gehen wir systematischer vor und stellen diejenigen Funktionstypen einer reellen Veränderlichen zusammen, die in den Anwendungen am häufigsten gebraucht werden.

Die analytische Geometrie beschreibt den Anschauungsraum durch reelle Zahlen und daraus abgeleitete Begriffe. Das Ziel ist, auf diese Weise geometrische Fragestellungen durch Rechnung zu lösen. Der wichtigste darin neu auftauchende Begriff ist der des Vektors. Mit Vektoren lassen sich nicht nur geometrische Beziehungen einfach formulieren, sie spielen auch in der Physik eine überragende Rolle. Kraft, Geschwindigkeit, Impuls, Drall sind zum Beispiel als Vektoren auffaßbar. Weitere neue Begriffe sind die Matrizen und Determinanten, die in vielen Anwendungsgebieten zunehmend an Bedeutung gewinnen. Mit ihrer Hilfe behandeln wir lineare Abbildungen und Gleichungssysteme. Schließlich führen wir den Gruppenbegriff ein und untersuchen einige Bewegungsgruppen, die als Symmetriegruppen von Molekülen bzw. als Raumgruppen von Kristallen in der Spektroskopie und in der Kristallographie auftreten.

In den ersten drei Kapiteln wurden Funktionen von nur einer reellen Veränderlichen behandelt. Einen Teil der dort eingeführten Begriffe übertragen wir jetzt auf Funktionen von zwei und mehr reellen Variablen. Dabei werden wir auf Beweise in zunehmendem Maße verzichten und dafür mehr auf die zahlreichen Anwendungen eingehen.

Differentialgleichungen sind für die Naturwissenschaften unentbehrlich. Zum Beispiel werden Naturgesetze wie die Erhaltung der Masse, der Energie und des Impulses häufig durch Differentialgleichungen ausgedrückt. Differentialgleichungen fungieren oft auch als mathematische Modelle, die wirkliche Phänomene möglichst gut beschreiben sollen. Das Auffinden von adäquaten mathematischen Modellen ist eine wichtige und schwierige Aufgabe des Naturwissenschaftlers. Daher werden wir diesen Gesichtspunkt besonders hervorheben und an einfachen Beispielen üben, wie man zu einem gegebenen Problem eine passende Differentialgleichung aufstellt.

Kenntnisse über statistische Methoden sind für den experimentierenden Naturwissenschaftler unentbehrlich. Er braucht sie nicht nur für eine sachgerechte Darstellung seiner Meßergebnisse, sondern vor allem bei der Entscheidung darüber, welche Bedeutung den gewonnenen Daten beizumessen ist. Den exakten mathematischen Rahmen für die in der Praxis üblichen statistischen Verfahren liefert die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit ihren Begriffsbildungen und Methoden ist es möglich, die statistischen Verfahren genau zu definieren sowie deren Aussagekraft zu berechnen und klar zu formulieren. Es ist daher sinnvoll, der Beschreibung der wichtigsten statistischen Verfahren eine kurze Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung voranzustellen.