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2018 | Buch

Mengenlehre Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Mathematik für Ökonomen

Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab

verfasst von: Prof. Dr. Wolfgang Kohn, Prof. Dr. Riza Öztürk

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

In diesem Buch finden Studierende aller wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge eine verständliche Einführung in die für sie relevanten mathematischen Methoden. Der Text ist in drei Teile gegliedert:

GrundlagenLineare Algebra mit den Schwerpunkten lineare Gleichungssysteme und lineare OptimierungAnalysis mit den Schwerpunkten Finanzmathematik und Differentialrechnung

Neben einer praxisnahen Motivation der Inhalte bietet das Buch auch zahlreiche Beispiele und Übungen mit Lösungen. Außerdem wird die klassische Anwendung der mathematischen Verfahren durch die Anwendung des Open-Source-Programms Scilab ergänzt und veranschaulicht. Die einzelnen Schritte dazu sind im Text beschrieben, was einen leichten Zugang zu dem Programm ermöglicht.

Die 4. überarbeitete und ergänzte Auflage ist nun um einen Abschnitt über ganzzahlige lineare Optimierung ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
1. Mengenlehre
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die Grundzüge der Mengenlehre und die Zahlenmengen erklärt. Mengen können als die Basis der Mathematik bezeichnen werden.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
2. Funktionen
Zusammenfassung
Eine Funktion beschreibt gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Variablen und sie ist eine wesentliche Grundlage in der Mathematik. Im Folgenden werden der Funktionsbegriff und einige spezielle Funktionen erläutert. Dazu zählen wir auch das Summen- und Produktzeichen für die fortgesetzte Addition und Multiplikation. Insbesondere das Summenzeichen wird häufig verwendet. Ferner sind die Logarithmus- und die Exponentialfunktion, sowie zwei spezielle Funktionen, die Betragsfunktion und die Gauß-Klammer (Auf- und Abrundungsfunktion) von Bedeutung. Ferner wird kurz der Binomische Satz erklärt. In Kap. 8 werden die rationalen Funktionen mit einer Variablen sowie Folgen und Reihen erläutert.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
3. Kombinatorik
Zusammenfassung
Die Kombinatorik ist die Grundlage vieler statistischer und wahrscheinlichkeitstheoretischer Vorgänge. Sie untersucht, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge anordnen kann bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, aus der Grundmenge von n-Elementen m-Elemente auszuwählen. Sie zeigt also, wie richtig „ausgezählt“ wird.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Lineare Algebra

Frontmatter
4. Vektoren
Zusammenfassung
Vektoren, wie auch Matrizen, sind Konstrukte, die Zahlen zusammenfassen, damit bestimmte Rechnungen einfacher werden. In einem Vektor bleibt jede Einzelgröße erhalten. Der Vektor ist eine kompakte Schreibweise für ein Zahlenfeld. Aus dieser Notation haben sich eigenständige Rechenanweisungen entwickelt.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
5. Matrizen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird das Konstrukt des Vektors erweitert und die Matrix eingeführt. In der Darstellung wird sich auf die für Ökonomen wichtigen Eigenschaften und Operationen der Matrizenalgebra beschränkt. Mit der Matrizenrechnung kann dann eine Materialverflechtung eines mehrstufigen Produktionsprozesses einfach berechnet werden.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
6. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Viele Probleme der Praxis lassen sich in Form linearer Gleichungssysteme modellieren und damit lösen. Besonders häufig ergeben sich lineare Gleichungssysteme in ökonomischen Bereichen, weil hier viele Beziehungen tatsächlich linear sind oder als linear angenommen werden können. Die Kenntnisse aus den Kap. 4 und 5 werden hier eingesetzt und erweitert. Inhomogene lineare Gleichungssysteme werden in der Input-Output-Analyse verwendet.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
7. Lineare Optimierung
Zusammenfassung
Die lineare Optimierung (Synonyme: lineare Planungsrechnung, lineare Programmierung) (operation research) ist in den letzten Jahrzehnten, auch aufgrund der rasanten Entwicklung im Computerbereich, zu einem Standardverfahren in der Betriebswirtschaftslehre geworden.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Analysis

Frontmatter
8. Rationale Funktionen, Folgen und Reihen
Zusammenfassung
In Kap. 2 wurde der Funktionsbegriff eingeführt. In dem folgenden Text wird die Klasse der rationalen Funktionen näher betrachtet. Besteht die Funktion nur aus der Summe der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten, dann spricht man von einer ganz-rationalen Funktion. Besteht die rationale Funktion aus einem Verhältnis zweier ganz-rationaler Funktionen, dann wird die Funktion als gebrochen-rationale Funktion bezeichnet.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
9. Grundlagen der Finanzmathematik
Zusammenfassung
Der Kern der Finanzmathematik ist die Berechnung einer Summe von verzinsten zukünftigen Zahlungen. Sind diese Zahlungen in der Zeit konstant, dann können sie mit der geometrischen Reihe berechnet werden. Dies liegt in der Rentenrechnung und in der Annuitätenrechnung vor. Variieren die zukünftigen Zahlungsströme (cash flows) hingegen, so können sie nicht mehr durch die geometrische Reihenformel (8.12) beschrieben werden. Dies ist der Fall in der Investitionsrechnung.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
10. Differentialrechnung für Funktionen mit einer Variable
Zusammenfassung
Werden Funktionen für einen festen Funktionswert untersucht, zum Beispiel hinsichtlich eines Extremums, so kann man dies als eine statische Analyse bezeichnen. Eine andere Betrachtungsweise ist die dynamische Analyse. Man untersucht dann die Eigenschaft einer Funktion an verschiedenen Stellen und vergleicht sie miteinander. Es werden also Eigenschaften untersucht, die relativ zur Funktionsänderung definiert sind, also Änderungsraten. Dazu gehören zum Beispiel die Steigung oder die Krümmung einer Funktion.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
11. Funktionen und Differentialrechnung mit zwei Variablen
Zusammenfassung
In vielen Fällen hängen die ökonomischen Größen nicht nur von einer Variablen, sondern von mehreren Variablen ab. Die in Abschn. 10.8.1 betrachtete Ertragsfunktion wird in der Realität von mehr als nur einem Produktionsfaktor bestimmt sein. Von daher ist es auch in den Wirtschaftswissenschaften notwendig, Funktionen mit mehreren Variablen zu betrachten. Im folgenden Abschnitt werden allerdings ur Funktionen mit zwei Variablen behandelt.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
12. Grundlagen der Integralrechnung
Zusammenfassung
In den vorausgegangenen Kapiteln wurde die Differentialrechnung und ihre Anwendung in der Ökonomie dargestellt. Der Ausdruck \(\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{{\rm{d}}x}}\), der die Differentiation vorschreibt, wird als Differentialoperator bezeichnet. Der Differentialoperator liefert die erste Ableitung einer differenzierbaren Funktion. Eine naheliegende Frage ist: Gibt es eine Umkehrfunktion, die die Wirkung des Differentialoperators wieder aufhebt, d. h. aus der Ableitung die ursprüngliche Funktion erzeugt?
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk

Anhang

Frontmatter
13. Anhang A: Eine kurze Einführung in Scilab
Zusammenfassung
Scilab ist ein umfangreiches, leistungsfähiges Software-Paket für Anwendungen in der numerischen Mathematik, das am Institut National de Recherche en Informatique t en Automatique (INRIA) in Frankreich seit 1990 entwickelt wird. Seit 2003 wird die Entwicklung vom Scilab-Konsortium unter Federführung des INRIA vorangetrieben. Scilab wird für Anwendungen in Lehre, Forschung und Industrie eingesetzt und ist für rein numerische Berechnungen programmiert.
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
14. Anhang B: Lösungen zu den Übungen
Zusammenfassung
Lösungen zu Übungen
Wolfgang Kohn, Riza Öztürk
Backmatter
Metadaten
Titel
Mathematik für Ökonomen
verfasst von
Prof. Dr. Wolfgang Kohn
Prof. Dr. Riza Öztürk
Copyright-Jahr
2018
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-57467-6
Print ISBN
978-3-662-57466-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-57467-6

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