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Über dieses Buch

​​Das Buch führt in die Grundbegriffe der Mathematik ein, wie sie in biologischen Studiengängen benötigt und verwendet werden. Dabei werden von Anfang an Zusammenhänge zur Biologie hergestellt und die mathematischen Begriffe und Resultate an Beispielen mit biologischem, chemischem oder medizinischem Bezug illustriert. Neben dem üblichen Standardstoff über Funktionen, Folgen, Gleichungen, Diffferenzieren und Integrieren werden auch Netzwerke behandelt. Jedes Kapitel wird mit einer Zusammenfassung, einem Kurztest und Übungsaufgaben abgeschlossen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundbegriffe

Zusammenfassung
Zahlen begegnen uns überall - auch in der Biologie. In Kapitel 1 werden daher verschiedene Typen von Zahlen eingeführt. Wir beschäftigen uns mit natürlichen Zahlen, ganzen Zahlen, mit den rationalen und den reellen Zahlen und geben Beispiele, wo solche Zahlen jeweils auftreten. Für jede der Zahlenklassen werden die wichtigsten Rechenregeln wiederholt. Wir definieren außerdem den mehrdimensionalen Raum und beschäftigen uns anhand vieler Beispiele mit dem Begriff der Abbildung. Leser, die sich mit diesen Grundlagen schon vertraut fühlen, können das Kapitel auch weglassen. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

2. Gleichungen lösen

Zusammenfassung
Das Lösen von Gleichungssystemen ist beispielsweise bei der Bestimmung der stöchiometrischen Koeffizienten in einer Reaktionsgleichung wichtig. Kapitel 2 beschäftigt sich daher mit verschiedenen Typen von Gleichungssystemen und zeigt Lösungsverfahren dafür auf. Zunächst werden Matrizen eingeführt und lineare Gleichungssysteme behandelt, die mit dem Gauss-Verfahren gelöst werden können. Die Lösung von quadratischen Gleichungen führt zu den binomischen Formeln und der p-q-Formel. Wir gehen auch auf die Polynomdivision zur Lösung von Gleichungen höheren Grades ein. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

3. Folgen und Reihen

Zusammenfassung
Wachstums- und Zerfallsprozesse sind Beispiele für Folgen und Reihen, mit denen wir uns in Kapitel 3 beschäftigen. Anhand vieler Beispiele werden Folgen illustriert. Wir führen den Begriff des Grenzwertes einer Folge ein und diskutieren, wie man erkennen kann, ob eine Folge zu einem Grenzwert konvergiert und wie man diesen bestimmen kann. Als Beispiel wird die Fibonacci-Folge näher untersucht. Die erlernten Begriffe werden anschließend zur Diskussion von Reihen angewendet. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

4. Funktionen

Zusammenfassung
Messergebnisse und Beobachtungen werden oft mittels Funktionen dargestellt und wiedergegeben. Kapitel 4 beschäftigt sich mit verschiedenen Typen von Funktionen und ihren Eigenschaften. Behandelt werden lineare Funktionen, Polynomfunktionen, zusammengesetzte Funktionen, rationale Funktionen sowie die Exponentialfunktion, die Logarithmusfunktion und die trigonometrischen Funktionen. Wir führen u.a. Grenzwerte von Funktionen ein und beschäftigen uns mit Stetigkeit und Verkettung von Funktionen. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

5. Differenzieren und Kurvendiskussion

Zusammenfassung
Aufbauend auf den Ergebnissen aus Kapitel 4 wird in Kapitel 5 das Differenzieren von Funktionen behandelt. Dieses ist eine wichtige Technik um z.B. Änderungsraten oder die größten oder kleinsten Werte einer Funktion zu bestimmen. Zunächst wird die Ableitung einer Funktion anhand der Bestimmung von Änderungsraten eingeführt und die Regeln zum Differenzieren von Funktionen werden verdeutlicht. Als Anwendung beschäftigen wir uns mit der Monotonie von Funktionen, mit der Bestimmung von Maxima und Minima und mit der Bestimmung von Wendestellen. Es wird außerdem eine Anleitung zur Kurvendiskussion gegeben. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

6. Integralrechnung

Zusammenfassung
Kapitel 6 beschäftigt sich mit der Integralrechnung, die oft zur Bestimmung von mittleren Werten genutzt wird. Es wird zunächst der Begriff der Stammfunktion eingeführt und gezeigt, wie man Stammfunktionen berechnen kann. Anschließend werden Integrale anhand ihrer geometrischen Interpretation zur Bestimmung von Flächeninhalten behandelt. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zeigt, wie diese beiden Begriffe zusammenhängen. Behandelt werden außerdem uneigentliche Integrale. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

7. Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Um Wachstumsfunktionen anhand von vorgegebenen Eigenschaften zu bestimmen, sind oft Differentialgleichungen hilfreich. In diesem Kapitel geben wir eine erste Einführung, was Differentialgleichungen sind und wie man sie (in einfachen Fällen) lösen kann. Wir behandeln Differentialgleichungen erster Ordnung wie sie bei exponentiellen Prozessen, bei begrenztem und bei logistischem Wachstum auftreten. Wir gehen auch kurz auf Differentialgleichungen höherer Ordnung und auf Systeme von Differentialgleichungen ein. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

8. Graphen und Netzwerke

Zusammenfassung
Netzwerke begegnen uns in vielen Bereichen, in der Biologie beispielsweise in Nahrungsnetzen, im Lymphsystem, im Wurzelsystem von Bäumen oder um biochemische Reaktionen darzustellen. In Kapitel 8 werden solche Netzwerke behandelt und an vielen Beispielen illustriert. Es werden Wege und Kreise in Graphen und Netzwerken untersucht und darauf aufbauend einige wichtige Probleme der Graphentheorie behandelt. Dazu gehören das Auffinden eines kürzesten Weges , z.B. in einem Straßennetzwerk, die Bestimmung von Flüssen und die Behandlung von Färbungsproblemen. Es werden algorithmische Berechnungsvorschriften zum Lösen dieser Probleme angegeben. Das Kapitel wird mit einer Zusammenfassung abgeschlossen und enthält einen Kurztest, mit dem überprüft werden kann, ob der behandelte Stoff verstanden wurde. Zum Üben und zum Vertiefen bieten wir mathematische Übungsaufgaben und Anwendungsaufgaben an.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

9. Lösungen zu den Kurztests

Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält die Lösungen der Kurztests aus den vorangegangenen Kapiteln 1-8.
Annika Eickhoff-Schachtebeck, Anita Schöbel

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