Der große französische Zahlentheoretiker Pierre de Fermat stellte in einem Brief an Bernard Frenicle de Bessy aus dem Jahr 1640 ohne Beweis den folgenden Satz auf:
Ist p eine Primzahl, dann teilt p für jede ganze Zahl a die Differenz ap — a.1
Ich würde gerne etwas vom Leben und von den Arbeiten eines bemerkenswerten jungen ungarischen Mathematikers namens Louis Pósa erzählen, der in den späten Vierzigerjahren dieses Jahrhunderts geboren wurde. Noch ganz jung zog er die Aufmerksamkeit des bedeutenden ungarischen Mathematikers Paul Erdös auf sich, der ihm bei seiner Entwicklung sehr behilflich war. Vor kurzem hat Erdös über einige ihm bekannte Wunderkinder geschrieben und gesprochen; und ich möchte seine Geschichte von Pósa erzählen.
In dieser Abhandlung würde ich gerne drei hervorstechende Probleme behandeln, die mit gleichseitigen Dreiecken zusammenhängen. Wir beginnen mit der Wiederholung einiger einfacher Eigenschaften gleichseitiger Dreiecke, damit wir später die Darstellung nicht unterbrechen müssen, um über diese Eigenschaften zu sprechen.
In dieser Abhandlung betrachten wir eine fesselnde Aufgabe und die schönen mathematischen Methoden und Ideen, die man zur Lösung braucht. Wir merken uns, daß die Punkte einer Koordinatenebene, die ganzzahlige Koordinaten haben, Gitterpunkte genannt werden.
Wenn wir die Breite einer ebenen Figur in Richtung einer Geraden m kennenlernen wollen, werden wir die Breite des schmälsten Streifens messen, der Q enthält und der normal zur Richtung von m steht. Jede Kante eines solchen Minimalstreifens wird Stützgerade genannt; die beiden Kanten bilden also ein Paar paralleler Stützgeraden von Q. Hat Q keinen Rand (wie zum Beispiel das Innere einer Kreisscheibe), werden die Stützgeraden Q nicht wirklich berühren. Im folgenden betrachten wir nun solche Figuren, die ihren Rand enthalten und für die deshalb jede ihrer Stützgeraden mindestens einen Punkt von Q enthält. Außerdem liegen alle Punkte von Q — die Berührungspunkte ausgenommen — auf der selben Seite der Stützgeraden.
In dieser Abhandlung betrachten wir eine Vielfalt kurzer Themen, die an der Grenze zwischen Arithmetik und Geometrie liegen. Nach einigen Aufgaben, die mit der Gerad- bzw. Ungeradzahligkeit von Zahlen zu tun haben, werden wir uns der bemerkenswerten Geschichte von Clifford W. Adams zuwenden.
Hamiltonsche Kreise wurden im Artikel über Louis Posa eingeführt. (Zur Wiederholung: ein Hamiltonscher Kreis in einem Graphen ist ein Kreis, der genau einmal durch jede Ecke geht.) Wie dort bemerkt wurde, sind keine Bedingungen bekannt, die zugleich notwendig und hinreichend sind für die Existenz eines Hamiltonschen Kreises in einem Graphen.
Schon seit alten Zeiten zeigen die Mathematiker besonderes Interesse an der Ausführung geometrischer Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Die Unmöglichkeit der Dreiteilung eines allgemeinen Winkels mit diesen Zeichengeräten hat für sich Aufmerksamkeit beansprucht, ohne Bezug zu nehmen auf Probleme, in denen die Drittel eines Winkels vorkommen. Diese Erklärung mag verantwortlich sein für das späte Auftreten des folgenden reizvollen Satzes:
Die an einer Seite anliegenden Schenkel der Dreiteilungen der Winkel eines Dreiecks schneiden sich immer in den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks.
Die Diagonalen eines Quadrates zerlegen das Innere in vier Gebiete. Die Diagonalen eines regelmäßigen Fünfeckes zerlegen sein Inneres in elf Gebiete. In dieser Arbeit werden wir die Anzahl der Gebiete bestimmen, in die das Innere eines n-seitigen Polygons durch seine Diagonalen zerfällt. Damit alle Diagonalen ganz im Inneren der Figur liegen, werden wir nur konvexe Polygone behandeln. Das Verschieben der Eckpunkte in der Ebene verändert auch die Lage der Diagonalen und die Größe und das Aussehen der Gebiete im Inneren. Wenn drei oder mehr Diagonalen so bewegt werden, daß sie durch einen gemeinsamen Punkt gehen, würde ein Gebiet zu diesem Punkt zusammenschrumpfen und so die Anzahl der Gebiete verändern. Um die maximale Anzahl zu erhalten, betrachten wir nur solche n-Ecken, in denen keine drei Diagonalen einen Punkt gemeinsam haben.
In der Antike teilten die Pythagoräer die natürlichen Zahlen in Hinblick auf ihre Teilersumme in defiziente, vollkommene und abun-dante Zahlen ein. Die Zahl 6 wurde als vollkommen bezeichnet, weil die Summe der echten Teiler 1, 2, 3 die Zahl 6 selbst ergibt. 8 bzw. 12 ist defizient bzw. abundant, weil die echten Teiler von 8, nämlich 1,2,4, als Summe nur 7 und die echten Teiler von 12, nämlich 1,2, 3, 4 und 6, als Summe mehr als 12 ergeben. Es stellt sich heraus, daß es viele defiziente und viele abundante Zahlen gibt; die vollkommenen Zahlen sind äußerst selten. Bis 1972 hat man nur 24 entdeckt.
Wie wir im Kapitel über das Obstgartenproblem gesehen haben, haben die Gitterpunkte (x,y) einer Koordinatenebene ganzzahlige Koordinaten x und y. Sie treten regelmäßig in Spalten und Zeilen an den Eckpunkten von Einheitsquadraten auf. Es ist unmittelbar einsichtig, daß es um jeden Gitterpunkt einen Kreis gibt, der keinen anderen Gitterpunkt enthält. Durch ein wenig Probieren findet man, daß es nicht schwierig ist, Kreise zu bestimmen, die genau 2, 3 oder genau 4 Gitterpunkte im Inneren enthalten.
In diesem Kapitel betrachten wir zwei Probleme, deren Lösung auf einer rekursiven Beziehung aufbaut. Rekursion und erzeugende Funktionen, die im zweiten Problem auftreten, überraschen oft durch Ergebnisse, die als unverhältnismäßig hohe Belohnung für die hineingesteckte Information erscheinen. Sie bilden wirksame Werkzeuge für die Ableitung von Ergebnissen aus gewissen Situationen, und man sollte wirklich etwas über sie wissen.
1926 veröffentlichte P. Poulet eine Tabelle der ungeraden Pseudoprimzahlen bis 50 Millionen. 1938 erweiterte er sie bis 100 Millionen. Dementsprechend nennt man heute Pseudoprimzahlen auch Pouletsche Zahl. Wir wiederholen, daß eine Pseudoprimzahl1 eine zusammengesetzte natürliche Zahl ist, für die n|2n — 2 gilt. Wir erkennen 2047 als Pouletsche Zahl wie folgt.
