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2013 | Buch

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Mathematische Modellierung

Eine Einführung in zwölf Fallstudien

verfasst von: Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Mathematische Modellierung erhält als Gegenstand des Unterrichts an Schulen und Hochschulen ein immer stärkeres Gewicht. Hierfür gibt es gute Gründe: Fragestellungen der Natur-, Technik- und Gesellschaftswissenschaften ebenso wie Aufgaben in Industrie, Wirtschaft und Verwaltung werden zunehmend – und in vielen Bereichen bereits überwiegend – unter Verwendung mathematischer Modelle unterschiedlichster Komplexitätsstufen bearbeitet. Modellierung, also die Herstellung eines formalen Abbilds eines Teilaspekts der Wirklichkeit, und die anschließende Simulation des realen Prozesses zumeist auf dem Computer gehören heute zu den Standardwerkzeugen einer hochtechnisierten Gesellschaft. Das Buch bietet eine Einführung in dieses komplexe Gebiet. In zwölf Fallstudien werden mathematische Modelle unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades entwickelt, mathematisch analysiert und hinsichtlich der Relevanz für den jeweiligen realen Gegenstandsbereich untersucht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Zur Entwicklung des Modellbegriffs

Zusammenfassung

Ganz grob gesagt besteht Mathematische Modellierung oder auch Mathematische Modellbildung darin, reale Fragestellungen mit mathematischen Mitteln zu bearbeiten und sie auf diesem Wege zumindest teilweise zu beantworten. Um besser verstehen zu können, warum und inwieweit das möglich ist, kann ein kurzer Blick auf die historischen Ursprünge dieses Vorgehens von Nutzen sein.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

2. Modellierungsrezepte und -instrumente

Zusammenfassung

Wie schon festgestellt, ist der Modellierungsprozess ein höchst komplexer Vorgang, der wegen der Vielfalt der Gegenstandsbereiche nicht algorithmisiert werden kann. Trotzdem lassen sich ein paar Grundregeln angeben, die besser befolgt, und ebenso ein paar immer wieder auftretende Fehler, die besser vermieden werden sollten. Beides zusammen haben wir hier in die Form einer „Rezeptsammlung“ gebracht, die dem Schema der Abbildung 1.1 entsprechend gegliedert ist. Zu beachten ist allerdings, dass nicht jedes dieser Rezepte für jeden Einzelfall von Bedeutung ist.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

3. Klassifikationen mathematischer Modelle

Zusammenfassung

Mathematische Modelle lassen sich unter verschiedenen Aspekten klassifizieren. Ein naheliegender Gesichtspunkt ist der Gegenstandsbereich, also die Wissenschaft oder die Alltagssituation, aus der das reale Problem stammt, ein anderer die Mathematik, die im Modell zum Einsatz kommt. Daneben gibt es aber auch Klassifikationen, die sich am Bereich zwischen dem realen und dem mathematischen Problem orientieren und deswegen für den Modellierungsprozess als solchen eine größere Bedeutung haben. Eine wichtige Klassifikation dieser Art, die sich auf die Qualität der Informationen bezieht, die über den modellierten Gegenstand vorliegen, wird im Folgenden vorgestellt.

Die Sammlung von Fallstudien in diesem Buch ist nach den mathematischen Strukturen gegliedert, die in den Beispielen zum Einsatz kommen. Darauf soll abschließend eingegangen werden.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

Statische Modelle

Frontmatter

4. Erstellung von Ligaplänen

Zusammenfassung

In der deutschen Fußball-Bundesliga spielen die 18Mannschaften gegen jede der 17 anderen pro Saison zweimal, einmal auswärts und einmal daheim. Insgesamt sind das 18 · 17 = 306 Spiele, die auf 34 Spieltage zu je 9 Spielen verteilt sind. Vor Saisonbeginn ist ein Spielplan zu erstellen, der festlegt, welche Mannschaft gegen welche andere an welchem Spieltag spielt und wer dabei das Heimrecht hat. Für die Bundesligasaison 2006/2007 etwa wurde er Ende Juni 2006 veröffentlicht.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

5. Mathematische Gesetzmäßigkeiten in der Blattstellungslehre

Zusammenfassung

Die Natur erzeugt eine nahezu unbeschränkte Vielfalt an Formen und Farben, allein die Vielgestaltigkeit der Pflanzen erscheint unermesslich. Einige charakteristische Muster jedoch scheinen in der Natur wiederzukehren.

Beispielsweise wird die scheinbar wahllose Verteilung von Einzelblüten in dem Blütenstand einer Sonnenblume vom Auge als Anordnung von links- bzw. rechtsdrehenden Spiralen erkannt. Ähnliche Spiralbildungen finden sich nicht nur in den Blütenständen einer Großzahl anderer Blumen, sondern auch in dem Arrangement von Fruchtblättern eines Kiefernzapfens oder einer Ananasfrucht oder an den Laubblättern einer Sprossachse.

Untersuchen wir die Anordnungen der Blattansätze auf mathematische Regelmäßigkeiten, so führen uns unsere Beobachtungen zur Theorie der Fibonaccizahlen und über diese zum Goldenen Schnitt. Im Folgenden wollen wir die Zusammenhänge zwischen Blatt- bzw. Blütenwachstum, Fibonaccizahlen und Goldenem Schnitt näher betrachten und auf dieser Grundlage ein Modell aufstellen, welches in der Lage ist, die Anordnung der Blüten zu simulieren.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

6. Optimale Routenplanung bei der Müllabfuhr

Zusammenfassung

Im Jahr 2005 wurden in Hamburg 753.990 t Müll aus privaten Haushalten und Geschäften durch die Stadtreinigung Hamburg entsorgt. Dies entspricht einerMenge von ca. 587 kg pro Einwohner und Jahr, oder auch ca. 2.066 t täglich im gesamten Stadtgebiet.

Die Kosten für die Müllabfuhr und Müllfahrzeuge steigen stetig an. Durch eine Optimierung der Fahrtrouten für die Müllautos wird sowohl Zeit als auch Treibstoff eingespart. So kann zumindest ein Teil der Kosten minimiert werden.

Aber was ist eine optimale Route und wie lässt sie sich mathematisch bestimmen? Dieser Frage wollen wir im Folgenden nachgehen. Das mathematischeModell wurde von Brigitte Lutz- Westphal pädagogisch aufgearbeitet und in [Hus07] veröffentlicht.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

7. Qualitätsprüfung nicht gewebter Vliesstoffe

Zusammenfassung

Für eine Vielzahl industrieller Erzeugnisse, von Möbelpolstern bis zu Babywindeln, verwendet man synthetisch erzeugte Stoffe. Dabei werden hauptsächlich nichtgewebte Stoffe und thermisch erzeugte Verklumpungen von Plastik-Fasern benutzt, die Vliese genanntwerden. Zur Herstellung von nichtgewebten Vliesen benutzt man Polymere und Pigmente (z. B. Farben), die man vor der Verarbeitung gut durchmischt. Im Extruder werden die Kunststoffe geschmolzen und im flüssigen Zustand noch einmal vermischt. Der flüssige Kunststoff wird durch Düsen gepresst und bildet so lange Fasern, die auf dem Fliesband abkühlen, dabei miteinander verkleben und so ein Vlies bilden. Die visuellen und mechanischen Eigenschaften dieser Vliese hängen von der Gleichmäßigkeit der Fasern in Bezug auf die lokale Faser-Dichte und die Gleichmäßigkeit in Bezug auf die Faser-Richtungen ab.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

8. Optimale Stationierung von Rettungshubschraubern

Zusammenfassung

Zur Versorgung der Opfer von Skiunfällen in Südtirol (Provincia autonoma Bolzano – Alto Adige) stehen der Rettungsorganisation „Weißes Kreuz“ drei Rettungshubschrauber zur Verfügung. Wo sollten diese Hubschrauber stationiert werden, um eine optimale Versorgung der Unfallopfer zu gewährleisten?

Die 109 Skigebiete Südtirols liegen in einem Gebiet mit einer Ausdehnung von etwa 150 km in Ost-West- und etwa 100 km in Nord-Süd-Richtung. Ihre Verteilung ist in Abbildung 8.1 dargestellt. In den Tabellen 8.1 und 8.2 sind die Hauptorte der Skigebiete als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystemangegeben, außerdem für eine Referenzsaison die Anzahlen von Unfällen, die den Einsatz eines Rettungshubschraubers erforderlich machten. Ein Hubschrauber fliegt mit einer Geschwindigkeit von etwa 200 km/h, für einen Überflug über das gesamte Gebiet in Ost-West-Richtung würde er also etwa 45 Minuten benötigen. Es ist klar, dass von der Stationierung des nächstgelegenen Rettungshubschraubers entscheidend abhängt, wie lange das Opfer eines Skiunfalls bis zu seinem Eintreffen auf die Erstversorgung warten muss.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

Dynamische Modelle

Frontmatter

9. Bevölkerungswachstum unter Berücksichtigung der Altersstruktur

Zusammenfassung

Die einfachsten Modelle zur Beschreibung des Wachstums einer Population gehen davon aus, dass die Populationsdynamik nur von der absoluten Größe der Bevölkerung abhängt. Dazu muss angenommen werden, die betrachtete Population sei homogen, die Individuen also alle gleichermaßen zur Reproduktion fähig und vom Tode bedroht. Für menschliche Populationen ebenso wie für Populationen langlebiger Tierarten kann diese Annahme, also die Abstraktion von der Altersstruktur, zu einer völligen Fehleinschätzung derWachstumsdynamik führen. Denn natürlich hängen die Reproduktionsfähigkeit und die Sterbewahrscheinlichkeit der Individuen von ihrem Alter ab.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

10. Verdrängungswettbewerb von Eichhörnchen

Zusammenfassung

Am Beispiel von zwei Eichhörnchenarten wird hier die in der Moderne häufiger auftretende Situation betrachtet, dass eine fremde Art vom Menschen absichtlich oder versehentlich in ein bis dato abgeschlossenes Ökosystem eingeschleppt wird. Die Folgen sind meist nicht leicht vorherzusehen. Koexistiert die neue Art mit den vorhandenen, oder wird die eine oder andere Art verdrängt?

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

11. Wachstum der Weltbevölkerung

Zusammenfassung

Nie zuvor gab es so viele Menschen auf der Erde wie heute – 6,5 Milliarden. Und nach wie vor nimmt die Anzahl zu. Immer wieder lassen sich den Medien Prognosen über das zukünftige Wachstum derWeltbevölkerung entnehmen. Doch wie lassen sich derartige Prognosen erstellen? In diesem Kapitel soll zunächst die Entwicklung der Weltbevölkerung seit 1650 auf Gesetzmäßigkeiten untersucht werden. Auf Grund der dabei gewonnenen Informationen, die sich von den Bevölkerungsdaten allerdings nicht unmittelbar ablesen lassen, soll dann eine Prognose bis 2050 erstellt und mit einer den Medien entnommenen Prognose verglichen werden.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

12. Auftreten von Eis- und Warmzeiten

Zusammenfassung

Im Laufe der Erdgeschichte gab es mehrere Perioden kalten Klimas, die Eiszeitalter. Bei diesen Perioden handelt es sich nicht etwa um zusammenhängende Zeiträume großer Kälte. Vielmehr sind Eiszeitalter von extremen Klimaschwankungen geprägt [Klo99]. So bestand das letzte Eiszeitalter, das vor ca. 2,4 Mio. Jahren begann und in dem wir heute noch leben [Klo99], aus bisher vier größeren Eiszeiten mit dazwischenliegenden Warmzeiten [Wol58]. In einer solchen Warmzeit befinden wir uns heute.

Als Eiszeit bezeichnet man eine mehrere hundert Jahre anhaltende Periode stark gesunkener Temperaturen auf der Erde. Während dieser Zeit kommt es zu einem Anwachsen der Eisdecken in Gebirgen und höheren Breiten der Nord- und Südhalbkugel, die als kilometerdicke Eisschichten weit ins Inland vorstoßen [Wol61]. So blieb in Deutschland während des jetzigen Eiszeitalters lediglich das Gebiet zwischen dem nördlichen Rand der Mittelgebirge und der Donau dauerhaft unvergletschert [Wol58].Während der größten Eisausdehnung in der vorletzten Eiszeit war weltweit eine Fläche von 48 Mio km² (ca. 32% der Festlandfläche) eisbedeckt. Im Vergleich dazu weist die heutige Situation eine Vereisung von 15 Mio km² (ca. 10% der Festlandfläche) auf [Bro88].

Eine allgemein anerkannte Erklärung für das Eintreten von Eiszeiten ist noch nicht bekannt. Als eine wesentliche Ursache wird jedoch die Schwankung der Sonneneinstrahlung durch leichte Veränderungen in der Erdumlaufbahn und der Neigung der Erdachse angenommen [Klo99]. In Orientierung an [Sel69] und [Ghi87] wollen wir im Folgenden ein Differentialgleichungsmodell aufstellen, mit dem die Existenz von Eis- und Warmzeiten erklärt werden kann. Durch Verallgemeinerung dieses Modells soll dann auch eine Erklärung für denWechsel zwischen EisundWarmzeiten geliefert werden.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

13. Stabilität des Golfstroms

Zusammenfassung

Die Ozeane sind durch Strömungen gekennzeichnet, die die Weltmeere miteinander verbinden und in ihrer Gesamtheit als globales Förderband bezeichnet werden [Len97].

Ein sehr bekannter Abschnitt dieses Strömungssystems ist das 1513 von dem Spanier Juan Ponce de Léon entdeckte Golfstromsystem [Sch12]. Hierbei handelt es sich um eine Oberflächenströmung im Nordatlantik, die vom Golf von Mexiko aus in nordöstlicher Richtung bis ins Europäische Nordmeer reicht (vgl. Abbildung 13.1). Als eigentlicher Golfstrom wird nur ein Abschnitt dieser Strömung bezeichnet [Fof81], die genaue Definition dieses Abschnitts ist in der Literatur jedoch nicht einheitlich. Der Einfachheit halber wollen wir im Folgenden die gesamte Oberflächenströmung vom Golf von Mexiko bis ins Europäische Nordmeer als Golfstrom bezeichnen.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

14. Ein mikroskopisches Verkehrsfluss-Modell

Zusammenfassung

Laut einer Studie des Shell-Konzerns waren im Jahr 2003 zwei Drittel aller Erwachsenen in Deutschland im Besitz eines Autos. Die durchschnittliche Fahrleistung jedes einzelnen Verkehrsteilnehmers wurde danach auf 11.400 Kilometer im Jahr berechnet. In unterschiedlichen Prognosen für die nächsten fünfzehn Jahre ist zwar von einem Stagnieren dieser Zahl die Rede, die Gesamtmenge der Pkw nehme in Deutschland jedoch von ca. 45 auf 49 Millionen zu. Daneben gibt es natürlich noch unzählige andere Verkehrs-Studien, z.B. zur Länge der Staus oder zur Zeit, die ein Bürger durchschnittlich im Stau verbringt (siehe [Hel01, Hel97]). Eines haben all diese Studien gemein: die Prognose ist eine weitere Zunahme des Verkehrsaufkommens.

Probleme mit Überlastungen von Straßen und Autobahnen sind bereits ein bekanntes Problem aus den letzten Jahrzehnten. Daher ist es nicht verwunderlich, dass auch die mathematische Modellierung von Verkehr ihre Anfänge bereits vor über einem halben Jahrhundert hatte. Man hat sehr früh erkannt, dass das Verständnis der Gesetzmäßigkeiten, nach denen sich Fahrzeuge auf den Autobahnen und Kraftfahrstraßen fortbewegen, zur Verbesserung der Verkehrssituation eingesetzt werden kann.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

15. Ein makroskopisches Verkehrsfluss-Modell

Zusammenfassung

Wie bereits in der Einführung des letzten Kapitels über mikroskopische Verkehrsflussmodelle erwähnt, gibt es neben den mikroskopischen Zugängen zur Beschreibung von Verkehr noch andere wichtige Zugänge, unter anderem die sogenannten makroskopischen Modelle. In diesen werden mikroskopische Details – z.B. die Dynamik der einzelnen Fahrzeuge – nicht näher betrachtet, sondern makroskopische Größen wie Verkehrsdichteund Verkehrsflussgeschwindigkeit als Beschreibungsgrößen herangezogen. Diese zwei räumlich und zeitlich kontinuierlichen Größen ergeben sich typischerweise als Lösungen von entsprechenden Modellen mit partiellen Differentialgleichungen bzw. Systemen von partiellen Differentialgleichungen.

Für einen historischen Überblick seien wiederum [Hel01, Hel97, Kla96, Nag03, Pic06] zitiert. Historisch gesehen wurde das erste Modell makroskopischen Typs von Lighthill und Whitham [Lig55] aufgestellt. In diesem Modell wird die Dynamik der Verkehrsdichte beschrieben und eine (verkehrsdichteabhängige) Gleichgewichts-Verkehrsflussgeschwindigkeit angenommen.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

Anhang: Mathematische Werkzeuge

Frontmatter

16. A Lineare Iterationsprozesse

Zusammenfassung

Die Modelle in den Kapiteln 9 und 10 führen auf lineare Iterationsprozesse oder auch lineare diskrete dynamische Systeme der Form x(t +1) = Ax(t) (t ∈ ℕ₀) mit einer reellen n×n-Matrix A, deren Einträge sämtlich nicht negativ sind. Von besonderem Interesse für die Analyse der Modelle ist das asymptotische oder Langzeitverhalten der Lösungsfolgen x(t), also ihr Verhalten für t →∞.

Über diese Lösungen und ihr Verhalten sollen im Folgenden einige Ergebnisse hergeleitet bzw. zusammengetragen werden.

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

17. B Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Die Modelle der Kapitel 12 bis 14 führen auf Systeme von gewöhnlichenDifferentialgleichungen der Form

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

18. C Hopf-Verzweigung

Zusammenfassung

In einigen Kapiteln dieses Buches taucht der Begriff Verzweigung auf. Speziell ist die Rede von Hopf-Verzweigungen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen. Genaueres zu diesem Thema findet man z.B. in [Mar76] oder in [Wer08]. I.Allg. liegt ein nichtlineares System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form

Claus Peter Ortlieb, Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel

Backmatter

Titel: Mathematische Modellierung
verfasst von: Claus Peter Ortlieb
Caroline von Dresky
Ingenuin Gasser
Silke Günzel
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-00535-1
Print ISBN: 978-3-658-00534-4
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-00535-1

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