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2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

2. Measure Theory

verfasst von : Vladimir Kadets

Erschienen in: A Course in Functional Analysis and Measure Theory

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The reader has undoubtedly already encountered the notion of measure, though perhaps under a different name. For instance, the area of a plane figure, the length of a rectifiable curve, the volume, the mass, are all examples of measures. The chapter covers the following material: algebras and sigma-algebras of sets; Borel sets; finite and countable additivity of measures; atoms, atomic and non-atomic measures; extension of measures; the Lebesgue measure on the interval and on the real line; Lebesgue’s theorem on the differentiability of monotone functions.

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Fußnoten
1
To obtain all the Borel sets, one needs to define the classes \(G_{\delta \sigma \delta \dots }\) and \(F_{\sigma \delta \sigma \dots }\) not only in the case where the index \(\sigma \delta \sigma \dots \) is a finite sequence, but also for arbitrary countable ordinals. Here we run into one of the problems of measure theory that require familiarity with ordinal numbers and transfinite induction.
 
2
We advise the reader to regard the assertions proved in this subsection as exercises and attempt to provide her/his own proofs.
 
3
If our mathematician found his tea kettle empty on Monday, filled it with water, and boiled it to prepare tea, then on Tuesday, in order to prepare tea, he must first empty completely the kettle to reduce the task to the previous one. We have proceeded in a similar way. Our measure was already given on a \(\sigma \)-algebra. To achieve countable additivity, we reduced the problem to the criterion where the measure is given on a semiring and where in the proof we need to extend the measure from the semiring to the algebra.
 
Metadaten
Titel
Measure Theory
verfasst von
Vladimir Kadets
Copyright-Jahr
2018
Buch
A Course in Functional Analysis and Measure Theory

Print ISBN: 978-3-319-92003-0

Electronic ISBN: 978-3-319-92004-7

Copyright-Jahr: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-92004-7_2

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