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Erschienen in:
2006 | OriginalPaper | Buchkapitel
On Nonconvex Relaxation Properties of Multidimensional Control Problems
verfasst von : Marcus Wagner
Erschienen in: Recent Advances in Optimization
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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We provide two examples concerning the relaxation properties of a model problem in multidimensional control:
% % MathType!MTEF!2!1!+- % feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXafv3ySLgzGmvETj2BSbqefm0B1jxALjhiov2D % aebbnrfifHhDYfgasaacH8srps0lbbf9q8WrFfeuY-Hhbbf9v8qqaq % Fr0xc9pk0xbba9q8WqFfea0-yr0RYxir-Jbba9q8aq0-yq-He9q8qq % Q8frFve9Fve9Ff0dmeaabaqaciGacaGaaeqabaWaaeaaeaaakeaacq % GHRiI8daWgaaWcbaGaeuyQdCfabeaaruWrHjxyT9MBKbacfaGccaWF % sgGaaiikaiaadQeacaWG4bGaaiikaiaadshacaGGPaGaaiykaiaads % gacaWG0bGaeyOKH4QaciyAaiaac6gacaGGMbGaaiyiaaaa!4D08! \[ \smallint _\Omega f(Jx(t))dt \to \inf !$$
,
Ω
⊂ ℝ
m
,
x
∈
W
{sk0/1,∞} (
Ω
, ℝ
n
),
Jx
(
t
) ∈
K
⊂ ℝ
nm
a. e. where
n
≤ 2,
m
≤ 2,
Jx
(
t
) is the Jacobian of
x
, and
K
is a convex body. The first example justifies the use of quasiconvex functions with infinite values in the relaxation process. In the second one, we examinate the relaxation properties of a restricted quasiconvex envelope function ƒ* introduced by Dacorogna/Marcellini.