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Über dieses Buch

Die mathematische Optimierung von Vorgängen, die durch partielle Differentialgleichun­ gen modelliert werden, hat in den letzten Jahren einen beachtlichen Aufschwung ge­ nommen. Die Verfügbarkeit immer besserer Computer ermöglichte neue interessante An­ wendungen dieses Gebietes in der Praxis, etwa in Strömungsmechanik, Mikroelektronik, Kristallzüchtung, Gefäßchirurgie oder Herzmedizin, um nur einige Beispiele zu nennen. Im Zusammenhang damit ist das Interesse von Numerikern und Optimierern an der Ver­ wendung ihrer Methoden in der Optimalsteuerung von partiellen Differentialgleichungen deutlich gestiegen und es gibt mehr Nachfrage von Studenten und Doktoranden der Ma­ thematik nach einer Einführung in Grundideen der zugehörigen Theorie. Heute existiert eine Reihe von Monographien zu verschiedenen Aspekten der optimalen Steuerung von partiellen Differentialgleichungen, insbesondere das bekannte Standard­ werk von J.L. Lions [121], dem für Aufgaben mit linearen Gleichungen und konvexen Zielfunktionalen kaum etwas hinzuzufügen ist. Das Interesse am Skript meiner Vorlesun­ gen zur optimalen Steuerung an den technischen Universitäten in Chemnitz und Berlin zeigte jedoch den Bedarf an einer Einführung in die Thematik in deutscher Sprache, die auch Aspekte der nichtlinearen Optimierung im Funktionenraum berücksichtigt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einführung und Beispiele

Zusammenfassung
Die mathematische Theorie der optimalen Steuerung hat sich im Zusammenhang mit Berechnungen für die Raumfahrt schnell zu einem wichtigen und eigenständigen Gebiet der angewandten Mathematik entwickelt. Die Bewegungsgleichungen von Luft- und Raumfahrzeugen werden durch Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen beschrieben und Aspekte der Optimierung kommen dann ins Spiel, wenn die Bewegungen der Flugkörper optimal ablaufen sollen.
Fredi Tröltzsch

2. Linear-quadratische elliptische Steuerungsprobleme

Zusammenfassung
Wir beginnen mit der Bereitstellung einiger weniger Begriffe der Funktionalanalysis. Dabei gehen wir nach dem Prinzip vor, immer nur das abzuhandeln, was zum Verständnis des jeweils folgenden Abschnitts unbedingt nötig ist. Die entsprechenden Aussagen werden hier nicht bewiesen. Dazu verweisen wir auf Standardwerke der Funkt ionalanalysis wie Alt [6], Brezis [34], Heuser [85], Ljusternik und Sobolew [123], Meise und Vogt [137], Werner [180].
Fredi Tröltzsch

3. Linear-quadratische parabolische Steuerungsprobleme

Zusammenfassung
Elliptische Differentialgleichungen beschreiben stationäre, d.h. zeitlich ausgeglichene physikalische Vorgänge. Bei Wärmeleitprozessen erfordert das eine Temperatur Verteilung im Gleichgewichtszustand, die sich nicht mehr ändert. Diese Stationarität liegt oft nicht vor. Dann kommt als weiterer physikalischer Parameter die Zeit ins Spiel.
Fredi Tröltzsch

4. Steuerung semilinearer elliptischer Gleichungen

Zusammenfassung
Zur Erläuterung der weiteren Schritte betrachten wir zunächst das semilineare elliptische Randwertproblem in einem beschränkten Lipschitzgebiet Ω⊂ ℝ3.
Fredi Tröltzsch

5. Steuerung semilinearer parabolischer Gleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir analog zu Aufgaben der Optimalsteuerung semilinearer elliptischer Gleichungen den parabolischen Fall diskutieren. Die Theorie der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen parabolischer Gleichungen unterscheidet sich in einigen wesentlichen Punkten von der für elliptische Aufgaben. Die optimierungstheoretischen Aspekte zeigen aber viele Parallelen. Daher braucht die Theorie der Optimalsteuerung parabolischer Gleichungen nicht in gleicher Ausführlichkeit wie in Kapitel 4 dargestellt zu werden. Wir behandeln nur die Gleichungen relativ detailliert, während die Optimierungstheorie teilweise nur skizziert wird. Das ist möglich, weil die Beweise über weite Strecken wie im elliptischen Fall verlaufen.
Fredi Tröltzsch

6. Optimierungsaufgaben im Banachraum

Zusammenfassung
Die bereits erfolgreich erprobte formale Lagrange-Technik beruht auf einer mathematisch exakten Grundlage. Hier werden Grundzüge dieser Theorie skizziert, so weit sie zum Verständnis der Behandlung von Aufgaben mit Zustandsbeschränkungen nötig sind. Beweise und weitere Sätze sind in Büchern zur Optimierung in allgemeinen Räumen zu finden, etwa bei Balakrishnan [15], Barbu und Precupanu [17], Ekeland und Temam [55], Göpfert [72], Ioffe und Tichomirov [95], Jahn [97], Luenberger [124], Schirotzek [157] oder Tröltzsch [170].
Fredi Tröltzsch

7. Ergänzungen zu partiellen Differentialgleichungen

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden die Aussagen zur gleichmäßigen Beschränktheit der Lösung des semilinearen elliptischen Randwertproblems (4.2) nachgereicht, die in Abschnitt 4.1 verwendet wurden. Dabei gehen wir von einem etwas allgemeineren elliptischen Differentialoperator als − Δ aus.
Fredi Tröltzsch

Backmatter

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