Orbits minimaler Wirkung

Zur Theorie und Numerik großer Abweichungen

verfasst von: Julia Schäpers

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

Buchreihe : BestMasters

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Die Freidlin-Wentzell-Theorie untersucht die Auswirkungen von zufälligen Störungen auf ein dynamisches System. Für stochastische Differentialgleichungen mit additivem oder multiplikativem Rauschen liefert sie ein Wirkungsintegral, dessen Minima kritische Übergänge beschreiben. Zur Bestimmung dieser kritischen Übergänge diskutiert Julia Schäpers einerseits bekannte Methoden aus der Fachliteratur und stellt andererseits einen neuartigen Ansatz vor, mit dem Orbits minimaler Wirkung als heterokline Verbindungen zwischen zwei stationären Zuständen eines Hamilton-Systems berechnet werden können. Diese neue Methode unterzieht sie einer genauen Fehleranalyse und erprobt sie an einer Reihe von Beispielen praktisch.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung

Störungen eines dynamischen Systems können zu Übergängen zwischen zwei stabilen stationären Zuständen dieses Systems führen, siehe [27]. Mit der Freidlin-Wentzell-Theorie, welche in [10] beschrieben ist, können diese Auswirkungen analysiert werden. Für stochastische Differentialgleichungen mit additivem oder multiplikativem Rauschen liefert diese ein sogenanntes Wirkungsintegral.

Julia Schäpers

Kapitel 2. Das Prinzip der großen Abweichungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel führen wir das Prinzip der großen Abweichungen (large deviations principle), kurz LDP, ein (vgl. Unterkapitel 1.1). Dazu definieren wir den Begriff einer (guten) Ratenfunktion. Außerdem werden zwei äquivalente Formulierungen des LDP erläutert.

Julia Schäpers

Kapitel 3. Die Freidlin-Wentzell-Theorie

Zusammenfassung

Die Freidlin-Wentzell-Theorie liefert, dass die Lösung einer gewissen stochastischen Differentialgleichung mit additivem oder multiplikativem Rauschen das LDP mit einer guten Ratenfunktion erfüllt. Zunächst einmal diskutieren wir dies im Fall des additiven Rauschens. Hierbei ist das Kontraktionsprinzip (Satz 1.14) ein zentrales Hilfsmittel.

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Kapitel 4. Die Euler-Lagrange-Gleichung und das zugehörige Hamilton-System

Zusammenfassung

In diesem Kapitel leiten wir die Euler-Lagrange-Gleichung sowie die Hamilton-Form für das Wirkungsintegral S_T her. In Unterkapitel 3.1 motiviert ein Beispiel einer bzgl. S_T regulären Menge, Bedingungen für Minimierer des Wirkungsintegrals S_T zu betrachten.

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Kapitel 5. Heterokline Orbits in Hamilton-Systemen

Zusammenfassung

In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass wir Orbits minimaler Wirkung von Hamilton-Systemen bestimmen wollen. Dazu führen wir in Unterkapitel 4.1 den Begriff des nichtentarteten Verbindungsorbitpaars ein. Insbesondere untersuchen wir die Nichtentartung von Hamilton-Systemen. Die Berechnung eines Verbindungsorbitpaars führt auf ein Randwertproblem, welches wir später in Kapitel 5 numerisch lösen wollen.

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Kapitel 6. Anwendungen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel lösen wir numerisch das Randwertproblem (4.35) mit den Setzungen aus Satz 4.19. Dazu erläutern wir zunächst ein paar Details im Hinblick auf die Programmierung. Anschließend illustrieren wir die Methode an Hand von ein paar Beispielen.

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Kapitel 7. Zusammenfassung

Zusammenfassung

Wir haben in Unterkapitel 3.1 gesehen, dass wir Orbits minimaler Wirkung, welche die stationären Zustände eines dynamischen Systems verbinden, bestimmen wollen. Anschließend haben wir die Euler-Lagrange-Gleichung für die Minimierung bzgl. des Wirkungsintegrals S_T betrachtet und anschließend die zugehörigen Hamilton-Gleichungen.

Julia Schäpers

Backmatter

Titel: Orbits minimaler Wirkung
verfasst von: Julia Schäpers
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-25817-7
Print ISBN: 978-3-658-25816-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25817-7