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Erschienen in:

2018 | OriginalPaper | Buchkapitel

1. Producer Theory

verfasst von : Susheng Wang

Erschienen in: Microeconomic Theory

Verlag: Springer Singapore

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Abstract

Suppose that a firm has n goods to serve as inputs and/or outputs. If the firm uses \( y_{i}^{ - } \) units of good i as an input and produces \( y_{i}^{ + } \) units of the good, where \( y_{i}^{ - } \), \( y_{i}^{ + } \in {\mathbb{R}}_{ + } , \) then \( y_{i} \equiv y_{i}^{ + } - y_{i}^{ - } \) is the net output of good i.

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Nächstes Kapitel Consumer Theory

A weak version of technological efficiency is as follows: a production plan \( y \in {\mathbb{Y}} \) is technologically efficient if there is no \( \hat{y} \in {\mathbb{Y}} \) such that \( \hat{y} \gg y. \) See the definition of inequalities \( > \) and \( \gg \) in Notation and Terminology.

This is from Arrow and Enthoven (1961, p. 796). For sufficient conditions of quasi-convexity when \( n > 2 \), see Wang (2008, Chap. 3).

Denote \( F\left( {y_{1} ,y_{2} } \right) \equiv - \frac{{G_{{y_{1} }} \left( {y_{1} ,y_{2} } \right)}}{{G_{{y_{1} }} \left( {y_{1} ,y_{2} } \right)}}. \) Then, \( \frac{d}{{dy_{1} }}F\left[ {y_{1} ,y_{2} \left( {y_{1} } \right)} \right] = F_{{y_{1} }} + F_{{y_{2} }} \frac{{dy_{2} }}{{dy_{1} }}. \)

The equation \( f^{{\prime }} \left( x \right) = f\left( x \right)/x \) gives the general solution \( f\left( x \right) = Ax, \) where \( A \) is an arbitrary constant, implying \( f^{{\prime }} \left( x \right) = A. \)

See the Appendix for the definition of homogenous functions.

This works since, after changes \( w_{1} \leftrightarrow w_{2} , \) \( x_{1} \leftrightarrow x_{2} , \) and \( a \leftrightarrow b, \) the original problem is the same.

A function \( c\left( {w,y} \right) \) is a cost function if there exists an increasing and concave function f such that

\( c\left( {w,y} \right) \equiv \mathop { \hbox{min} }\limits_{x} \left\{ {w \cdot x|y = f\left( x \right)\begin{array}{*{20}c} \\ \\ \end{array} } \right\},\quad\forall \left( {w,y} \right) \in {\mathbb{R}}_{ + }^{n + 1} . \)

See Fig. 10 for a graphic explanation.

Titel: Producer Theory
verfasst von: Susheng Wang
Verlag: Springer Singapore
Buch: Microeconomic Theory
Print ISBN: 978-981-13-0040-0

Electronic ISBN: 978-981-13-0041-7

Copyright-Jahr: 2018
DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-13-0041-7_1