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2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

Quenched Central Limit Theorem for the Stochastic Heat Equation in Weak Disorder

verfasst von : Yannic Bröker, Chiranjib Mukherjee

Erschienen in: Probability and Analysis in Interacting Physical Systems

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

We continue with the study of the mollified stochastic heat equation in \(d\ge 3\) given by \(\mathrm{d}u_{\varepsilon ,t}=\frac{1}{2}\Delta u_{\varepsilon ,t}\mathrm{d}t+ \beta \varepsilon ^{(d-2)/2} \,u_{\varepsilon ,t} \,\mathrm{d}B_{\varepsilon ,t}\) with spatially smoothened cylindrical Wiener process B, whose (renormalized) Feynman-Kac solution describes the partition function of the continuous directed polymer. This partition function defines a (quenched) polymer path measure for every realization of the noise and we prove that as long as \(\beta >0\) stays small enough, the distribution of the diffusively rescaled Brownian path converges under the aforementioned polymer path measure to the standard Gaussian distribution.

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Fußnoten
1
Note that a standard Gaussian computation implies that \(\mathbf {E}[M_T^2]=\mathbb {E}_0\big [\text {exp}\{\beta ^2\int _0^T V(\sqrt{2} W_s)\mathrm{d}s\}\big ] \le \mathbb {E}_0\big [\text {exp}\{\beta ^2\int _0^\infty V(\sqrt{2} W_s)\mathrm{d}s\}\big ]\). Since \(d\ge 3\) and \(V\ge 0\) is a continuous function with compact support, \(\beta ^2 \sup _{x\in \mathbb {R}^d} \mathbb {E}_x[\int _0^\infty V(\sqrt{2} W_s)\mathrm{d}s]=\eta < 1\) as soon as \(\beta >0\) is chosen small enough. Then by Khas’minski’s lemma, \(\sup _{x\in \mathbb {R}^d} \mathbb {E}_x[\text {exp}\{\beta ^2 \int _0^\infty V(\sqrt{2} W_s)\mathrm{d}s\}]=\frac{\eta }{1-\eta }<\infty \), and hence \(\beta _{L^2} \in (0,\infty )\).
 
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Metadaten
Titel
Quenched Central Limit Theorem for the Stochastic Heat Equation in Weak Disorder
verfasst von
Yannic Bröker
Chiranjib Mukherjee
Copyright-Jahr
2019
Buch
Probability and Analysis in Interacting Physical Systems

Print ISBN: 978-3-030-15337-3

Electronic ISBN: 978-3-030-15338-0

Copyright-Jahr: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-15338-0_6