Statistik

Die Statistik stellt ein Instrumentarium bereit, um Informationen über die Realität oder Wirklichkeit verfügbar zu machen. Statistische Methoden haben sowohl in den empirischen Wissenschaften als auch in der Praxis bei der Gewinnung und Verarbeitung von Informationen eine herausragende Stellung erlangt. Die Verbreitung des Computers hat inzwischen die Anwendung komplexer statistischer Verfahren ermöglicht. Die technologischen Möglichkeiten können allerdings auch zu Anwendungen statistischer Methoden verführen, die inhaltlich nicht hinreichend gestützt zu sein brauchen. Wenn die Interpretation einer Datenauswertung oder -analyse unzulänglich bleibt, sind die bereitgestellten Informationen von zweifelhaftem Nutzen.

Die Gewinnung von Datenmaterial über einen Gegenstandsbereich bezeichnet man als Erhebung. Sofern für eine empirische Untersuchung kein adäquates Datenmaterial verfügbar ist, muss die Datengewinnung durch eine Primärerhebung erfolgen. Hierunter versteht man die Ermittlung von Merkmalswerten relevanter Merkmale an den Einheiten einer statistischen Masse. Sie setzt eine Planung voraus, in der die methodischen, rechtlichen und organisatorischen Modalitäten festgelegt werden. Von einer Sekundärerhebung spricht man, wenn ursprünglich zu nicht mit dem Untersuchungsziel identischen Zwecken erhobene Daten verwendet werden. Dies ist z.B. gegeben, wenn die den Finanzämtern vorliegenden Lohnsteuerkarten zum Zwecke einer Lohnstatistik oder Buchhaltungsdaten für eine Umsatzstatistik verwendet werden. Bei einer Primärerhebung unterscheidet man folgende Formen:

Für ein diskretes Merkmal X liegen die Einzelwerte (Beobachtungswerte) x₁, x₂,...x_n vor. Eine Auszählung der Daten bietet sich in unidassierter Form an, falls die Anzahl der realisierten Ausprägungen x*₁,x*₂,...,x*_n, des Merkmals X nicht zu groß ist. Typische diskrete Merkmale, die sich für eine Auszählung in unklassierter Form eignen, sind qualitative Merkmale wie z.B. Geschlecht, Familienstand und Religionszugehörigkeit, komparative Merkmale wie z.B. Güteklassen und Schulnoten und quantitative Merkmale wie z.B. Anzahl der Haushaltsmitglieder und Anzahl der Kinder. Es wird davon ausgegangen, dass ein qualitatives oder komparatives Merkmal bereits numerisch kodiert ist, so dass x*₁ < x*₂ <...x*_m gilt. Die Anzahl n_j der Beobachtungseinheiten mit der j-ten Merkmalsausprägung x*_j heißt dann absolute Häufigkeit. Die Quotienten h_j = n_j/n nennt man relative Häufigkeit. Sie liegen zwischen 0 und 1 und lassen sich als Anteile der Merkmalsträger mit der j-ten Merkmalsausprägung an der gesamten Anzahl der Beobachtungseinheiten interpretieren.

Von einer Konzentration im wirtschaftlichen Sinne spricht man bei

Bei Erhebungen wird im Allgemeinen nicht nur ein einziges Merkmal bei den statistischen Einheiten erfasst, sondern es werden vielmehr mehrere Merkmale gleichzeitig erhoben. Dennoch wird man einzelne Merkmale separiert auswerten, wenn eine Untersuchung nicht auf den Verbund von Merkmalen ausgerichtet ist. So kann man sich z.B. für eine Einkommensverteilung, einen Durchschnittslohn oder die Konzentration der Umsätze in einer Branche interessieren, wozu jeweils nur ein relevantes Merkmal zu betrachten ist. Häufig ist man aber gerade an den Zusammenhängen zwischen zwei oder mehreren Merkmalen interessiert. So könnte sich z.B. im Rahmen einer Zielgruppenanalyse die Frage stellen, ob bestimmte Käufertypen durch die Schulbildung geprägt werden oder aber beide Merkmale unabhängig voneinander variieren. Gleichermaßen interessiert ist man in den Wirtschaftswissenschaften z.B. an der Stärke und Form eines Zusammenhangs zwischen den Kapitalmarktzinsen, den Gewinnen und den Investitionen oder den Ausgaben fir bestimmte Werbeträger und einer Zielgröße, die z.B. durch den Umsatz gegeben sein kann. In all diesen Fällen ist eine Untersuchung verbundener Beobachtungen erforderlich, wozu alle interessierenden Merkmale zugleich bei den statistischen Einheiten erfasst sein müssen. Wir beschränken uns hier auf den Fall zweidimensionaler Daten, der bei der Messung von Zusammenhängen eine herausgehobene Stellung einnimmt.

Bei der Zeitreihenanalyse wird eine zeitliche Folge von Beobachtungen, die als Zeitreihe bezeichnet wird, statistisch untersucht. Es kann sich dabei um eine Bestandsgröße handeln wie z.B. der Bestand an Kraftfahrzeugen, die Zahl der Erwerbstätigen, die Zahl der Arbeitslosen oder eine Stromgröße wie z.B. der Umsatz eines Unternehmens, die Zahl der Urlauber oder die Konsumausgaben. Allerdings bleiben die Verknüpfungen zwischen den korrespondierenden Massen außer Betracht, die Gegenstand der Bestandsanalyse sind (s. Kapitel 11). Gleichermaßen wird nicht versucht, die Entwicklung einer Zeitreihe durch bestimmte Variablen zu erklären, die als kausale Einflussgrößen in Frage kommen. Letztere Art der Analyse, die Wald¹ als „äußere Methode“ bezeichnet, wird in der Ökonometrie beschritten. In der Zeitreihenanalyse versucht man dagegen primär, das Verhalten einer Zeitreihe aus sich selbst heraus aufzuklären. Insofern spricht man auch von einer „inneren Methode“. Hierbei geht es um die Aufdeckung der Gesetzmäßigkeiten, denen die Zeitreihe in Abhängigkeit von der Zeit unterliegt. Es wird damit unterstellt, dass sich die wesentlichen Einflussgrößen in dem Faktor Zeit niederschlagen.

Gegenstand der Bestandsanalyse ist die Analyse der zeitlichen Entwicklung von Beständen. Von besonderem Interesse ist dabei die Bestimmung der mittleren Verweildauer von statistischen Einheiten, die Ermittlung des Durchschnittsbestands und die Umschlaghäufigkeit des Bestandes. Oft ist man zusätzlich an der Interpretation struktureller Unterschiede zwischen Beständen sowie ihren Zu- und Abgängen interessiert. Im Rahmen einer Bestandsanalyse sind Kenntnisse der Bestandsermittlung und Fortschreibung erforderlich.

Die induktive Statistik beschäftigt sich mit Vorgängen, deren Ausgänge nicht mit Gewissheit vorausgesagt werden können. So lässt sich z.B. nicht mit Sicherheit sagen, ob es morgen regnet oder die Sonne scheint, ob die Fußballmannschaft A oder B gewinnt oder ob ein Kunde eine Bestellung aufgeben wird oder nicht. Man spricht in derartigen Situationen von Zufallsvorgängen.

Die Kombinatorik stellt Techniken für das Abzählen von Elementen bereit. Typische Fragestellungen betreffen die Anzahl der verschiedenen Anordnungen der Elemente einer Gruppe oder die Anzahl der Möglichkeiten, die es gibt, aus einer Gruppe von n Elementen genau k Elemente auszuwählen. Mit den Abzähltechniken werden also zum einen Anordnungs- oder Reihenfolgeprobleme behandelt. Dabei müssen die Elemente innerhalb einer Gruppe nicht alle voneinander verschieden sein, so dass sich Anordnungen oder Permutationen mit und ohne Wiederholung von Elementen betrachten lassen. Nur bei Permutationen ohne Wiederholung sind alle Elemente unterscheidbar. Zum anderen beschäftigt sich die Kombinatorik mit Auswahlproblemen. Je nachdem, ob dabei die Anordnung der Elemente in der Auswahl oder Stichprobe relevant ist, lassen sich Kombinationen (ohne Berücksichtigung der Anordnung) und Variationen (mit Berücksichtigung der Anordnung der Elemente) unterscheiden.

Wir haben bisher gesagt, dass durch die Abbildung P Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Da Ereignisse Teilmengen von Ω sind, werden durch P Teilmengen aus Ω Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Betrachten wir nun folgende Zufallsvorgänge mit ihren Ergebnisräumen.

Bisher wurden Wahrscheinlichkeitsverteilungen in einer allgemeinen Form dargestellt. In der statistischen Praxis treten häufig ganz bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf, die nun vorgestellt werden. Während wir uns in diesem Kapitel mit diskreten Verteilungsmodellen beschäftigen, werden im nächsten Kapitel stetige Verteilungsmodelle diskutiert.

Hier werden einige wichtige Modelle für die Verteilung von stetigen Zufallsvariablen diskutiert. Da eine stetige Zufallsvariable X überabzählbar viele Werte x annehmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert annimmt, gleich null. Konsequenterweise können im stetigen Fall Wahrscheinlichkeiten nur dafür berechnet werden, dass X in beliebige Intervalle hineinfällt. Diese Wahrscheinlichkeiten ergeben sich als Fläche zwischen der x-Achse und der Dichtefunktion über dem betrachteten Intervall.

In diesem Kapitel wird von Zufallsvorgängen ausgegangen, bei denen mehrere Zufallsvariablen gemeinsam betrachtet werden. Das Konzept mehrdimensionaler Zufallsvariablen ist eine Verallgemeinerung der bisherigen Vorgehensweise, bei der jeweils nur eine Zufallsvariable zur Beschreibung von Zufallsvorgängen herangezogen wurde. Man kann sich vorstellen, dass eine Zufallsvariable X in n Durchführungen eines Zufallsvorgangs beobachtet wird. Die Zufallsvariable X, bezeichnet den Wert, den X im i-ten Versuch annimmt, wobei i=1,...,n ist. Die n-dimensionale Zufallsvariable (X₁, X₂,..., X_n) beschreibt dann den Ausgang aller n Durchführungen des Zufallsvorgangs.

Die Grenzwertsätze bilden den Abschluss der Wahrscheinlichkeitsrechnung und sind von zentraler Bedeutung vor allem für die induktive Statistik. Das Gesetz der großen Zahlen macht eine Aussage über die Genauigkeit der Abschätzung eines unbekannten Mittelwertes der Grundgesamtheit durch den Stichprobenmittelwert. Dagegen gibt der Zentrale Grenzwertsatz an, gegen welche Verteilung Summen und Durchschnitte beliebig verteilter Zufallsvariablen bei großem Stichprobenumfang tendieren.

Bei der Punktschätzung haben wir uns mit der Konstruktion von Schätzfunktionen und ihren Güteeigenschaften beschäftigt. Die Anwendung einer Schätzfunktion auf eine konkret realisierte Stichprobe x₁,...,x_n liefert einen Schätzwert \(\mathop \theta \limits^ \wedge \) für den unbekannten Parameter θ der Grundgesamtheit. Allerdings kann man auch bei Verwendung einer effizienten Schätzfunktion nie sagen, wie verlässlich ein Schätzwert \(\mathop \theta \limits^ \wedge \) für θ ist. Wenn z.B. m Stichproben aus der Grundgesamtheit entnommen werden, dann lassen sich daraus bis zu m verschiedene Schätzwerte \(\mathop \theta \limits^ \wedge \) berechnen, die alle Realisationen einer einzigen Schätzfunktion sind. Außerdem ist nicht garantiert, dass von wenigstens einer der m Punktschätzungen der unbekannte Parameter θ exakt getroffen wird.

Wir haben bereits statistische Verfahren kennengelernt, mit denen die unbekannten Parameter einer Grundgesamtheit auf Stichprobenbasis geschätzt werden können. Wie die Schätzverfahren gehen auch die in diesem Kapitel zu diskutierenden Testverfahren von einer vorliegenden Stichprobe aus. Da jeweils mit Hilfe der Stichprobenergebnisse auf die Grundgesamtheit geschlossen wird, bilden die Testverfahren zusammen mit den Schätzverfahren den Kern der induktiven Statistik. Im Rahmen der statistischen Testverfahren wird die Frage behandelt, wie auf der Basis einer Stichprobe entschieden werden kann, ob bestimmte Hypothesen bzw Annahmen über die zugrundeliegende Grundgesamtheit richtig oder falsch sind. Betrachten wir dazu ein einführendes Beispiel.

Die bisher behandelten Testverfahren werden eingesetzt, um Hypothesen über unbekannte Parameter von Grundgesamtheiten zu überprüfen. Daher werden diese Tests als Parametertests bezeichnet. In der statistischen Anwendung interessieren daneben auch Tests, die nicht der Parameterüberprüfung dienen. Derartige Verfahren werden als nichtparametrische Tests bezeichnet, die Gegenstand dieses Kapitels sind. Bei der Vorstellung einiger ausgewählter nichtparametrischer Verfahren geht es einerseits darum, Hypothesen über die unbekannte Verteilung einer Grundgesamtheit zu überprüfen. Mit der Nullhypothese wird in diesem Fall ein bestimmter Verteilungstyp der Grundgesamtheit, wie z.B. die Normalverteilung, angenommen Durch den Vergleich zwischen der in einer Stichprobe empirisch ermittelten und den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten wird entschieden, ob die Nullhypothese eines bestimmten Verteilungstyps beizubehalten oder abzulehnen ist. Testverfahren, die auf diesem Konstruktionsprinzip basieren, sind der ChiQuadrat-Anpassungstest und der Kolmogorov-Smirnoff-Test. Andererseits lässt sich z.B. untersuchen, ob zwei Zufallsvariablen bzw. Merkmale stochastisch unabhängig sind. Mit H₀ wird in diesem Fall die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen unterstellt. Die Nullhypothese wird durch den Vergleich zwischen empirisch ermittelten und bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten überprüft. Das Testverfahren, das wir in diesem Bereich diskutieren werden, ist der ChiQuadrat-Unabhängigkeitstest.