Stochastik in den Ingenieurwissenschaften

In Zeitungsartikeln, in den Nachrichten im Fernsehen, überall begegnen uns grafische Veranschaulichungen von Daten, sei es um einen ersten Eindruck von den Daten zu bekommen oder die Ergebnisse zu unterstreichen. Grafiken sind ein sehr nützliches Werkzeug zur Beschreibung von Daten. In den einzelnen Abschnitten werden für die unterschiedlichen Merkmalstypen mögliche grafische Darstellungsmethoden vorgestellt.

In den vorherigen Abschnitten wurden Methoden zur Darstellung von Daten verwendet, die nur ein geringes Maß an Reduktion vornahmen (z.B. Häufigkeitsverteilung, Histogramm, empirische Verteilungsfunktion, Bildung von Klassen etc.). Oft ist man aber daran interessiert, Datensätze mit wenigen Kenngrößen zu beschreiben (etwa um zwei oder mehr Datensätze miteinander zu vergleichen). Mit solchen Kennzahlen wollen wir uns in den folgenden drei Kapiteln beschäftigen. Wir beginnen mit den Lageparametern. Diese dienen zur Beschreibung des „Zentrums/Schwerpunkts“ eines Datensatzes. Sie geben Anhaltspunkte für die Lage eines untersuchten Merkmals („Durchschnittswert“). Im Folgenden werden für die unterschiedlichen Merkmalstypen diverse Lageparameter vorgestellt.

In vielen Anwendungen wird nicht nur ein Merkmal eines Objekts gemessen, sondern mehrere (z.B. Laufzeit, Gewicht und Energieverbrauch von Maschinen oder Lieferant und Ausschussquote von Elektroniklieferungen). Im Folgenden werden ausschlie″slich Paare von Merkmalen X und Y eines Objekts betrachtet (Notation: (X, Y) oder (X ₁, X ₂) etc.). Die Ergebnisse lassen sich jedoch auch auf die Kombination von drei oder mehr Merkmalen übertragen. Das Paar (X, Y) heißt auch \textbf{bivariates Merkmal} mit Komponenten X und Y. Wir beginnen zunächst mit grafischen Darstellungsmöglichkeiten für bivariate Daten, dann folgt ein Abschnitt in dem Maße für den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen vorgestellt werden. Danach beschäftigen wir uns mit Methoden zur Beschreibung des Zusammenhangs zunächst mit linearen Funktionen und dann auch mit nichtlinearen.

In diesem Kapitel wird gezeigt, wie die Statistiksoftware R genutzt werden kann, um Zufallszahlen aus verschiedenen Verteilungen zu simulieren. Für stochastische Simulationen werden Zufallszahlen gebraucht. In R können Zufallszahlen mittels verschiedener Wahrscheinlichkeitsverteilungen erzeugt werden. Während dVerteilung die Dichte der Verteilung ergibt, erhält man mit rVerteilung Zufallszahlen, die gemäß der Verteilung verteilt sind. Der zweite Abschnitt des Kapitels beschäftigt sich mit statistischen Kennzahlen für diese Zufallszahlen. Der letzte Abschnitt beschäftigt sich dann mit der Simulation des Würfelwurfs.

Es werden die Begriffe der Grundmenge, des Ereignis und des Ergebnis eingeführt. Danach werden einige Rechenregeln für Mengen vorgestellt. Zu allen Begriffen werden jeweils Beispiele genannt.

Dieses Kapitel liefert eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsmaße und Wahrscheinlichkeitsräume. Zunächst wird das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert und grundlegende Eigenschaften aufgeführt. Nach der Definition von diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen wird der sogenannte Laplace-Raum eingeführt. Liegt ein Laplace-Raum vor, so reduziert sich die Berechnung von Wahrschein- lichkeiten also auf das Abzählen von Elementen eines Ereignisses. Mittels einer auf- zählenden Darstellung eines Ereignisses lässt sich die Berechnung auf simple, wenn auch oft mühsame Weise, durchführen.

In vielen Situationen sind die Elemente ω des Grundraums Ω eines Zufallsexperiments selbst nicht von Interesse, sondern lediglich eine bestimmte Eigenschaft der Elemente ω, wie etwa die Brenndauer einer Glühbirne, die Summe der Augenzahlen zweier Würfel, die Anzahl von Sechsen bei 1000 Würfelwürfen. Darum werden die sogenannten Zufallsvariablen eingeführt. Nach einer allgemeinen Einführung wird die Verteilungsfunktion für eindimensionale Zufallsvariablen definiert. Dabei wird zwischen stetigen und diskreten Zufallsgrößen unterschieden. Im folgenden Abschnitt lernen wir auch die Verteilungsfunktion für mehrdimensionale Zufallsvektoren kennen.

In diesem Abschnitt werden einige wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen vorgestellt. Dabei wird für die Aussage X ist verteilt gemäß einer Verteilung P die Schreibweise X ∼ P verwendet. Die Verteilungen werden dargestellt mittels ihrer (Zähl-) Dichte. Zum Teil werden auch die Verteilungsfunktionen dargestellt. In R erhält man (Zähl-)Dichten mittels d distname, Verteilungsfunktionen mittels p distname und Zufallszahlen der Verteilung mittels r distname, wobei distname für den Verteilungsnamen steht. In den aufgeführten Verteilungen wird nur dieser Verteilungsname in R aufgeführt.

Das Kapitel gibt Beispiele, wie zwei oder mehrdimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen aussehen können. Dabei wird sowohl auf stetige als auch auf diskrete Verteilungen eingegangen. Insbesondere wird die mehrdimensionale Normalverteilung vorgestellt.

In vielen Situationen sind gewisse Vorinformationen bezüglich des Ereignisses A verfügbar. Beispielsweise ist bekannt, dass ein Ereignis B bereits eingetreten ist. Diese Zusatzinformation beeinflusst die Einschätzung der Wahrscheinlichkeiten. Dies wird durch den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit formalisiert. Mit der Definition und Beispielen dazu beschäftigt sich der erste Abschnitt dieses Kapitels. Darauf aufbauend kann dann im Folgenden die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen und Zufallsvariablen definiert werden.

Die Zuverlässigkeitstheorie befasst sich mit der Bestimmung des Ausfallrisikos eines Systems. Dabei wird im Allgemeinen vorausgesetzt, dass das Ausfallverhalten der einzelnen Komponenten dieses Systems bekannt ist. Wir setzen voraus, dass diese Komponenten unabhängig voneinander sind und dass auch die Ausfallwahrscheinlichkeiten von einander unabhängig sind. Es werden nur die beiden Zustände „System arbeitet“ und „System ist ausgefallen“ betrachtet. Neben der Zuverlässigkeit von einfachen Systemen werden wir auch verschiedene Modelle zur Beschreibung der Lebenszeiten kennenlernen.

Ein wichtiges Thema der Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Studium von stochastischen Prozessen, d.h. von Familien von Zufallsvariablen, die meist die zeitliche, gelegentlich die räumliche, Entwicklung eines Zufallsgeschehens beschreiben. Neben den Folgen von unabhängigen Zufallsvariablen, die bisher betrachtet wurden, ist eine Klasse von Prozessen besonders wichtig, die man Markovsche Ketten oder Markov-Ketten nennt. Sie sind durch eine spezielle übersichtliche Form der Abhängigkeit der Variablen charakterisiert. Markov-Ketten werden zum Beispiel zur Simulation von Warteschlangen oder im Bereich der Qualitätssicherung in der Fertigungskontrolle benutzt.

Wir haben gesehen, dass die Zufallszahlen die Eigenschaften der Verteilung widerspiegeln, von der sie erzeugt werden. Wenn man nun in der Statistik Daten erhebt, so folgen diese auch einer Verteilung. Der Unterschied ist nur, dass die Verteilung nun unbekannt ist und dass man in der Regel nur wenige Daten hat. Das heißt, man hat Daten x ₁, …, x _N oder Datenpaare (x ₁, y ₁), …, (x _N , y _N ), bei denen N recht klein ist. Auf jeden Fall ist N im Allgemeinen nicht so groß, wie das bei den Zufallszahlen der Fall ist, wo N ja ohne weiteres als 1000 oder sogar 10000 gewählt werden kann. Wie nun trotzdem mit relativ kleinen Datensätzen auf die zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsverteilung geschlossen werden kann, ist Aufgabe der „Schließenden Statistik“. Ein anderer Name für „Schließende Statistik“ ist „Inferenz-Statistik“.

Wie bereits in der Einleitung beschrieben, stellen die Punktschätzung ein Verfahren dar, um bei bekannter Verteilung \(P^{{X_{0}}}\) aus den beobachteten Daten Rückschlüsse auf die unbekannten Parameter zu machen. Hier werden wichtige Anforderungen an Punktschätzungen vorgestellt, sowie ein Verfahren um Punktschätzungen herzuleiten.

Dieses Kapitel gibt einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und den Aufbau eines statistischen Tests.

Kann man annehmen, dass die Daten x ₁, …, x _N von einer Normalverteilung stammen, d.h. dass sie Realisierungen von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen X ₁, …, X _N sind, vereinfacht sich vieles. Die Verteilung ist dann bis auf die beiden Parameter µ und σ² der Normalverteilung bekannt. Wenn man eine Normalverteilung annimmt, so sind Hypothesen über den Erwartungswert Hypothesen über den Parameter µ. Hier wird das Testproblem H₀: µ = µ₀ gegen H₁: µ ≠ µ₀ ausführlicher betrachtet. Es wird dabei auch auf den Fehler 2. Art eingegangen und die Frage, wie groß der Stichprobenumfang sein müsste, um diesen möglichst gering zu halten.

In Kap. 22 wurde ausführlich das Testproblem H₀: µ = µ₀ gegen H₁: µ ≠ µ₀ behandelt. Wir werden nun weitere Tests für normalverteilte Daten kennenlernen. Wie beim Testproblem H₀: µ = µ₀ gegen H₁: µ ≠ µ₀ sind bei einigen Tests auch Aussagen über die Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art möglich. Es werden Tests für den Erwartungswert und die Varianz, sowie zum Vergleich von zwei Stichproben vorgestellt. Auch Tests auf den Zusammenhang zwischen zwei Stichproben lernen wir kennen.

In diesem Kapitel lernen wir einige Tests kennen, die benutzt werden können, wenn keine Normalverteilung vorliegt.

Nach einer allgemeinen Einführung zu den Konfidenzbereichen wird erläutert, wie mithilfe von Hypothesentests Intervallschätzungen hergeleitet werden können. Dieses Verfahren wird dann genutzt, um für Erwartungswert und Varianz Konfidenzbereiche anzugeben.

Wir wollen nun die Erkenntnisse des letzten Teils zur schließenden Statistik nutzen um einen kleinen Einblick in die Methoden der statistischen Qualitätssicherung zu bekommen. Wir betrachten dazu zuerst Qualitätssicherungsmaßnahmen, die vorrangig vom Produzenten bei der Herstellung von Produkten durchgeführt werden. Das betrifft zum Einen die Haltbarkeit der Produkte. Dazu werden wir zunächst noch einmal in Abschn. 26.1 die Lebensdauerverteilungen aus dem Kap. 17 über Zuverlässigkeitstheorie betrachten. Neben der Haltbarkeit müssen die Produkte aber noch viele andere Anforderungen bezüglich Größe, Gewicht, Form, chemischer Zusammensetzung, Aussehen, Funktionalität etc. erfüllen. Wenn ein Produktionsprozess so eingestellt ist, dass alle Anforderungen erfüllt sind, so stellt sich dennoch in der laufenden Fertigung immer wieder die Frage, ob die Anforderungen noch gegeben sind. Durch Verschleiß der Maschinen, durch Personalwechsel, durch Änderungen der Raumtemperatur etc. können sich die Rahmenbedingungen für die Fertigung so ändern, dass die produzierten Produkte die Anforderungen nicht mehr erfüllen. Die Aufgabe der statistischen Fertigungsüberwachung, die in Abschn. 26.2 vorgestellt wird, ist, frühzeitige Abweichungen von den Anforderungen zu erkennen. Dagegen betrifft die Annahmeprüfung, die in Abschn. 26.3 behandelt wird, sowohl den Produzenten als auch die Abnehmer. Damit soll sicher gestellt werden, dass der Konsument nur Produkte annehmen muss, die seine Anforderungen erfüllen. Umgekehrt sichert sie den Hersteller ab, dass bei ausreichender Qualitätslage der Konsument auch die Produkte abnehmen muss.