nach oben

2004 | Buch

Kapitel lesen Erstes Kapitel lesen

Stochastische Modelle

Eine anwendungsorientierte Einführung

verfasst von: Prof. Dr. Karl-Heinz Waldmann, Dipl.-Wi.-Ing. Ulrike M. Stocker

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : EMIL@A-stat

Enthalten in: Professional Book Archive

Einloggen, um Zugang zu erhalten

Über dieses Buch

Das vorliegende Buch führt den Leser in die Welt der stochastischen Modellbildung ein. Im Vordergrund steht dabei eine anschauliche Darstellung zeit-diskreter Modelle, die auf einer klaren Formulierung der mathematischen Grundlagen basiert.

Der Begriff der Markov-Kette zieht sich wie ein roter Leitfaden durch die einzelnen Kapitel. Markov-Ketten sind von Interesse bei der Analyse zeit-diskreter dynamischer Systeme, die zufälligen Einflüssen unterliegen. Sie beeindrucken durch ihre klare Struktur und ihre Einfachheit in der Darstellung und Lösung. Markov-Ketten sind, zusammen mit den Poisson-Prozessen und ihren Verallgemeinerungen, zudem ein wichtiger Baustein zum Verständnis und zur Analyse zeit-stetiger Systeme.

Die vorgestellten Methoden werden durch ausführliche Beispiele veranschaulicht und durch gezielte Aufgaben mit Lösungen vertieft. Dabei kommt den multimedialen Elementen der e-stat-Umgebung eine zentrale Bedeutung zu, da sie neue Möglichkeiten der Veranschaulichung stochastischer Systeme eröffnet. Mehrere Fallstudien runden diese anwendungsorientierte Einführung ab.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Zusammenfassung

Gestern hatte ich Glück! Die Warteschlange am Fahrkartenschalter war kurz. Nur zwei Personen warteten auf Bedienung. Auch sie wollten keine Beratung, sondern lediglich eine Fahrkarte. Schlie½lich stand ich viel zu früh auf dem Bahnsteig. Nun, wir wissen, es hätte auch ganz anders kommen können.

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Kapitel 2. Markov-Ketten

Zusammenfassung

Ein zeit-diskreter stochastischer Prozess (X_n)_n∈ℕ0 mit abzäNahlbarem Zustandsraum I heißt Markov-Kette, wenn für alle Zeitpunkte n ∈ _ℕ0 und alle Zustäande i₀, . . . , i_n−1, i_n, i_n+1 ∈ I die folgende Eigenschaft

$$ \begin{gathered} P(X_{n + 1} = i_{n + 1} |X_0 = i_0 ,...,X_{n - 1} = i_{n - 1} ,X_n = i_n ) \hfill \\ = P(X_{n + 1} = i_{n + 1} |X_n = i_n ) \hfill \\ \end{gathered} $$

(2.1)

erfüllt ist. Sie wird als Markov-Eigenschaft bezeichnet und drückt die Gedächtnislosigkeit des Prozesses aus. Sie besagt, dass die zukünftige Entwicklung des Prozesses nur von dem zuletzt beobachteten Zustand abhängt und von der sonstigen Vorgeschichte unabhängig ist. Liegen demzufolge die Werte i₀, … , i_n der Zufallsvariablen X₀, … , X_n vor, so hängt die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsvariable X_n+1 den Wert i_n+1 annimmt, nur von i_n und nicht von i₀, … , i_n−1 ab.

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Kapitel 3. Poisson-Prozesse

Zusammenfassung

Poisson-Prozesse gehören zu den einfachsten zeit-stetigen Prozessen. Sie sind Zählprozesse. Sie zählen das Eintreten eines bestimmten Ereignisses, etwa den „Ausfall einer Glühbirne“ in einer Lampe über einen bestimmten Zeitraum. Die Eintrittszeitpunkte der Ereignisse sind zufällig und damit auch die Abstände zwischen den Eintrittszeitpunkten. Sie bilden den eigentlichen stochastischen Kern des Prozesses.

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Kapitel 4. Markov-Prozesse

Zusammenfassung

Den Poisson-Prozess haben wir als einen besonders einfachen stochastischen Prozess kennengelernt: Ausgehend vom Zustand 0 hält er sich eine exponentialverteilte Zeit in einem Zustand i auf und geht dann in den Nachfolgezustand i+1 über. Ein Markov-Prozess ist eine natürliche Verallgemeinerung: Er startet in einem beliebigen Zustand und nicht mehr zwingend im Zustand 0; die Aufenthaltsdauern in den einzelnen Zuständen sind zwar nach wie vor exponentialverteilt, die zugehürigen Parameter künnen jedoch zustandsabhängig sein. Auch der Nachfolgezustand ist nicht notwendigerweise i + 1, sondern ein beliebiger, von i verschiedener Zustand j. Dieser wird mit einer Wahrscheinlichkeit q_ij angenommen, die unabhängig von der Aufenthaltsdauer im Zustand i ist.

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Kapitel 5. Anwendungen

Zusammenfassung

Ein Wartesystem besteht aus Kunden, die zu zufälligen Zeitpunkten an einer Bedienungsstation eintreffen, um Bedienung nachsuchen und nach Abschluss der Bedienung die Station wieder verlassen. Elementare Beispiele eines Wartesystems sind Kunden, die an einem Fahrkartenschalter eintreffen, eine Fahrkarte kaufen und anschlieend den Fahrkartenschalter wieder verlassen oder Maschinen, die bei Ausfall von einem der freien Mechaniker zu reparieren sind (vgl. Beispiel 4.14).

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Kapitel 6. Fallstudien

Zusammenfassung

Eine Gemeindeverwaltung will ihren Service verbessern und die Amtsstube in ein Bürgerbüro verwandeln. Um eine Entscheidungsgrundlage zu haben, wird der Sachbearbeiter beauftragt, einen Monat lang Buch zu führen über (a) die Anzahl der Bürger, die pro Stunde die Amtsstube aufsuchen und (b) die Bearbeitungszeiten der Vorgänge. Anhand der gesammelten Daten stellt sich heraus, dass im Schnitt 5 Bürger pro Stunde kommen und der Sachbearbeiter etwa 10 Minuten pro Vorgang benötigt.

Karl-Heinz Waldmann, Ulrike M. Stocker

Backmatter

Titel: Stochastische Modelle
verfasst von: Prof. Dr. Karl-Heinz Waldmann
Dipl.-Wi.-Ing. Ulrike M. Stocker
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-17058-4
Print ISBN: 978-3-540-03241-0
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-17058-4

Springer Professional

Über dieses Buch

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einführung

Kapitel 2. Markov-Ketten

Kapitel 3. Poisson-Prozesse

Kapitel 4. Markov-Prozesse

Kapitel 5. Anwendungen

Kapitel 6. Fallstudien

Backmatter