Theoretische Festkörperphysik Band 2

Es wird eine Einführung gegeben in die Methoden zur Behandlung von elektronischem Transport in Festkörpern, also einer typischen Nicht-Gleichgewichts-Situation, die in der Regel durch (statische) elektrische Felder oder Temperatur-Gradienten verursacht wird. Es werden zunächst phänomenologische Modelle, speziell das Drude-Modell besprochen. Dann wird die Boltzmann-Gleichung eingeführt, d.h. eine partielle Differentialgleichung für die Nicht-Gleichgewichts-Verteilung der Elektronen. Unter der Annahme kleiner Abweichungen vom Gleichgewicht wird die linearisierte Boltzmann-Gleichung in Relaxationszeit-Näherung behandelt. Lösungen der linearisierten Integro-Differentialgleichung bei Berücksichtigung eines mikroskopischen Streumechanismus werden vorgeführt, wobei Störstellen-Streuung, Elektron-Phonon-Streuung (Blochsches T5-Gesetz), Elektron-Elektron-Streuung und die Streuung an magnetischen Verunreinigungen (Kondo-Effekt) im Rahmen vereinfachter Modelle berücksichtigt werden. Als (quantenmechanisch besser fundierte) Alternative zur Boltzmann-Gleichung wird die (aus der von-Neumann-Gleichung ableitbare) Lineare-Response-Theorie besprochen und die Kubo-Formel für die statische elektrische Leitfähigkeit abgeleitet. Mittels der Kubo-Formel wird eine Gleichung für den elektrischen Widerstand bzw. die statische Leitfähigkeit durch (in Bornscher Näherung behandelte) Störstellen-Streuung hergeleitet. Schließlich wird auch noch der Landauer-Formalismus für (ballistischen) Transport kurz eingeführt, wonach der Leitwert unmittelbar auf den (elektronischen) Transmissions-Koeffizienten eines (mikroskopischen) Systems zurückgeführt wird.

Eine typische Nicht-Gleichgewichts-Situation für die Festkörper-Elektronen entsteht insbesondere durch das Anlegen von (bzw. die Bestrahlung mit) zeitabhängigen elektromagnetischen Feldern (Licht etc.). Es werden zunächst aus der (klassischen) Elektrodynamik (in Materie) bekannte Relationen für bzw. zwischen den Größen elektrische Suszeptibilität, (frequenzabhängige) Dielektrizitätskonstante, Brechungsindex, dynamische (frequenzabhängige) Leitfähigkeit und (elektromagnetischem) Reflexions-Koeffizienten wiederholt. Die (frequenzabhängige) Leitfähigkeit wird zunächst im Rahmen des phänomenologischen Drude-Modells bzw. der Boltzmann-Gleichung in Relaxationszeit-Näherung bestimmt. Im Rahmen eines mikroskopischen Modells wird die Ehrenreich-Cohen-Formel für die frequenzabhängige Suszeptibilität bzw. Dielektrizitätskonstante hergeleitet. Ausgehend von der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung bzw. der von-Neumann-Gleichung und bei näherungsweiser Benutzung der Dipol-Kopplung des elektromagnetischen Feldes an die Materie werden Rabi-Oszillationen und der optische Stark-Effekt behandelt. Es werden die Halbleiter-Bloch-Gleichungen für die Besetzungswahrscheinlichkeiten und die Polarisation unter Berücksichtigung der Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen (bzw. zwischen Elektronen im Leitungsband und Löchern im Valenzband) hergeleitet und nach Entkopplung in niedrigster Ordnung im Feld gelöst, was zu Exzitonen-Linien im Anregungsspektrum führt. Es werden auch die Kopplung an quantisierte elektromagnetische Felder (Photonen) und das Exziton-Polariton als neue Elementaranregung im Festkörper besprochen. Schließlich wird noch das Jaynes-Cummings-Modell eingeführt, welches das einfachste Modell ist, das eine Kopplung von Elektronen an quantisierte elektromagnetische Felder beinhaltet.

Zur theoretischen Beschreibung von Festkörpern geht man gerne vom Modell des unendlich ausgedehnten, dreidimensionalen, idealen Kristall aus mit periodischen Randbedingungen und voller Translationsinvarianz bezüglich der Gittervektoren eines Bravais-Gitters. Dies ist nämlich Voraussetzung für eine Anwendung des Bloch-Theorems und dafür, dass die Wellenvektoren k aus der ersten Brillouin-Zone gute Quantenzahlen sind. Im realen Kristall sind diese Idealisierungen aber immer verletzt. Es gibt nämlich Oberflächen, Störstellen, Versetzungen, Inhomogenitäten etc., und in diesem Kapitel wird ein kurzer Überblick darüber gegeben, welche Abweichungen von der idealen dreidimensionalen Kristallstruktur vorkommen, welche Konsequenzen daraus resultieren und wie man sie ausgehend vom idealen Kristall theoretisch behandeln und modellieren kann. Es wird gezeigt, dass Oberflächen Anlass zur Ausbildung von an den Oberflächen lokalisierten Zuständen und damit zu Oberflächen-Bändern geben können. Ferner werden Methoden zur Modellierung von Störstellen beschrieben, und es wird gezeigt, dass an den Störstellen lokalisierte Zustände existieren können. Bei ungeordneten Systemen sind die Störstellen quasi zur Regel geworden, und es wird die „Coherent Potential Approximation" (CPA) zur Behandlung solcher ungeordneter Systeme erklärt und kurz auf das Problem der Anderson-Lokalisierung eingegangen. Ferner werden (Halbleiter-) Heterostrukturen und ihre Konsequenzen und Anwendungen beschrieben; insbesondere wird erklärt, wie man mittels solcher Heterostrukturen quasi-zweidimensionale Elektronensysteme realisieren kann. Schließlich wird noch auf die seit ca.2004 realisierbaren wirklichen zweidimensionalen Systeme (Graphen u.a.) eingegangen, und es wird beschrieben, wie man Quantenpunkte, d.h. quasi-null-dimensionale Systeme, in Festkörpern realisieren und modellieren kann.

Ein magnetisches Feld koppelt - zumindest in der nichtrelativistischen Quantenmechanik - auf zwei verschiedene Arten an Materie und geladene Teilchen (Elektronen) in der Materie, nämlich einmal - wie jedes elektromagnetische Feld - über die Minimal-Ankopplung (Standard-Ersetzung) und zum anderen an das mit dem Spin der Elektronen verbundene magnetische Moment. Es wird zunächst störungstheoretisch gezeigt, wie über diese Kopplungen Paramagnetismus und Diamagnetismus im Prinzip verstanden werden können. Dann wird das Modell lokalisierter magnetischer Momente im homogenen Magnetfeld behandelt, aus dem sich Paramagnetismus und das Curie-Gesetz für die statische magnetische Suszeptibilität ergeben. Für Leitungselektronen, die nur über ihren Spin an das Magnetfeld koppeln, ergibt sich der Pauli-Paramagnetismus, während die diamagnetische Kopplung (über die Standard-Ersetzung des Impuls-Operators) zum Landauschen Diamagnetismus führt. Auf der Landau-Quantisierung im starken Magnetfeld beruhen Effekte wie der De-Haas-van-Alphen-Effekt und der ganzzahlige und der fraktionale Quanten-Hall-Effekt, die kurz beschrieben und erklärt werden.

Das Kapitel gibt eine Einführung in die Theorie der Supraleitung. Nach einer Zusammenstellung der wichtigsten experimentellen Befunde wird gezeigt, dass eine effektive anziehende Wechselwirkung zweier Leitungselektronen in Festkörpern existieren kann. Dazu wird der Hamilton-Operator der Elektron-Phonon-Wechselwirkung (Fröhlich-Modell) mittels einer kanonischen Transformation umgeformt, so dass eine effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung resultiert, die attraktiv sein kann. Dann wird gezeigt, dass eine anziehende Wechselwirkung zwischen zwei Elektronen zu den gebundenen Zuständen eines Cooper-Paares führen kann. Das BCS-Modell enthält eine derartige anziehende Wechselwirkung zwischen allen Elektronen in einem gewissen Bereich um die Fermi-Energie. Das BCS-Modell wird mittels einer Entkopplung nach anomalen (Paar-)Erwartungswerten und einer anschließenden Bogoljubov-Transformation näherungsweise gelöst. Sodann wird der stromtragende Zustand eines Supraleiters diskutiert und gezeigt, dass dabei der Strom direkt proportional zum Vektorpotential ist. Ausgehend von diesem Ansatz für die Stromdichte kann im Rahmen der London-Theorie der Meißner-Effekt beschrieben werden. Als weitergehende phänomenologische Theorie der Supraleitung wird auch die Ginzburg-Landau-Theorie ausführlich beschrieben. Schließlich werden noch Tunnel-Effekte in Supraleitern besprochen und erklärt.

In diesem Kapitel werden Modelle für kollektiven Magnetismus, d.h. Ferro- oder Antiferro-Magnetismus, behandelt. Es wird zunächst gezeigt, durch welche Mechanismen lokalisierte magnetische Momente miteinander wechselwirken können. Konkret wird die direkte Austauschwechselwirkung besprochen und die indirekte, über Leitungselektronen vermittelte RKKY-Wechselwirkung. Das Heisenberg-Modell für miteinander wechselwirkende magnetische Momente wird ausführlich in Molekularfeld-Näherung behandelt. Magnonen als einfachste, Anregungen im Heisenberg-Modell werden mittels der Holstein-Primakoff-Transformation eingeführt. Es wird auch das Mermin-Wagner-Theorem besprochen, wonach in ein und zwei Dimensionen beim Heisenberg-Modell keine langreichweitige magnetische Ordnung auftreten darf. Das Ising-Modell wird als vereinfachte, anisotrope Version des Heisenberg-Modells eingeführt, und die wichtigsten Ergebnisse für das Ising-Modell werden zusammengestellt, einschließlich der exakten Lösung in einer Dimension; dabei werden auch Monte-Carlo-Methoden eingeführt und Ergebnisse vorgestellt. Schließlich wird noch Band-Magnetismus besprochen, und die Stoner-Theorie des Band-Magnetismus über eine Molekularfeld-Approximation am Hubbard-Modell hergeleitet. Als aktuelles Anwendungsbeispiel für Band-Ferro- bzw. -Antiferro-Magnetismus wird der Riesen-Magnetowiderstands-(GMR-)Effekt erklärt. Schließlich wird noch gezeigt, dass und wie das Hubbard-Modell bei halber Füllung und für große U auf ein antiferromagnetisches Heisenberg-Modell abgebildet werden kann.

Dieses Kapitel enthält die vollständigen Lösungen zu den Übungsaufgaben der vorausgehenden Kapitel.