4. Theorie – Theoretische Zugänge zur Komplexität

Wesentliche Teile des vorliegenden Theoriekapitels wurden bereits vor über zwanzig Jahren verfasst und erstmals in Liening (1998) publiziert. Sie haben bis heute nicht an Aktualität eingebüßt, wurden hier gleichwohl z. T. präzisiert, vertieft und ergänzt, so dass es nicht sinnvoll erscheint, diese noch einmal mit anderen Worten auszudrücken. Der nachfolgende Theorieteil bildet dabei die entscheidende Grundlage für die hier neu vorgestellten empirischen Methoden (Kap. 5). Im Kontext dieses Buches gibt damit das Theoriekapitel in der Gesamtschau ein runderes Bild ab, als in seiner Erstpublikation, da Theorie und Praxis hier stärker in den Zusammenhang gestellt werden und eine methodische Zugangsmöglichkeit aufgezeigt wird. In den vergangenen Jahren wurde insbesondere immer wieder die Synergetik als Theorie der Selbstorganisation aufgegriffen und in Publikationen verwertet (Liening 1998, 2006, 2007, 2009, 2013, 2015). In diesem Buch führen die Erkenntnisse aus über zwanzig Jahren Forschungs- und Publikationstätigkeit zu einem synergetischen Gesamtkonzept, das erstmals und in der inhaltlichen Fokussierung auf das neue Thema Entrepreneurship in Kap. 7 vorgestellt wird.

Die Analogiebildung zwischen Karten und Phasenräumen geht auf John Briggs und F. David Peat zurück (Briggs und Peat 1993, S. 41 ff.).

Das Volumenelement verkleinert sich, bis es Null wird, wenn \( t \to \infty \), d. h. wenn der Zeitverlauf unendlich ist, vgl. Canty (1995, S. 93).

Impuls = Masse \( \cdot \) Geschwindigkeit.

Unter einem rationalen Verhältnis wollen wir einen Bruch verstehen, bei dem im Zähler wie im Nenner eine ganze Zahl steht. Eine Betrachtung des Verhältnisses der Schwingungen eines gekoppelten Systems zeigt, dass z. B. die Frequenz bzw. Periode des einen Systems halb so hoch sein kann, wie die des anderen. Es liegt also das rationale Verhältnis 1:2 bzw. 1/2 vor. Rationale Zahlen lassen sich entweder durch eine Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen (2/4 = 0,5; 3/4 = 0,75 etc.) oder mit sich periodisch, unendlich wiederholenden Nachkommastellen (2/3 = 0,6666…; 1/7=0,142857142…;1/9 = 0,1111… etc.) darstellen.

Unter einem irrationalen Verhältnis versteht man hier Zahlen, die durch keinen Bruch darstellbar sind. So ist beispielsweise die Kreiszahl \( \pi \) eine irrationale Zahl. Der Näherungswert von \( \pi \) lautet: 3,1415927. Dies ist wie gesagt nur ein Näherungswert. Die Nachkommastellen brechen in Wirklichkeit nicht ab und es gibt kein wiederkehrendes Muster.

Eine schöne Einführung in das KAM-Theorem findet sich in: Ott (1994, S. 224 ff.). Die KAM Theorie macht hierbei eine Aussage zu der Stabilität sogenannter Hamiltonscher Systeme. Argyris, Faus et al. stellen fest, dass historisch betrachtet die Erkenntnis, „daß die Bestimmung einer einzigen Funktion, nämlich der Hamilton-Funktion H, genügt, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen und damit eine deterministische Bewegung zu beschreiben, im Einklang mit den Gesetzten der Vernunft (war), und man sprach daher von der rationalen Mechanik“ (Argyris et al. 2010, S. 143). Poincaré machte die Bemühungen der Mathematiker und Physiker des 19. Jahrhunderts, eine Hamilton-Funktion zu finden, die die Integrabilität von Systemen nachweist, durch die Untersuchung seines Dreikörperproblems letztendlich zunichte. Argyris et al. weisen darauf hin, dass mit der Aufstellung des Bohrschen Atommodells der Hamiltonsche Formalismus „eine neue Blüte“ erlebte und die klassische Dynamik keineswegs ein abgeschlossenes Gebiet darstellt, wie die Erkenntnisse von Kolmogorow, Arnold, Moser etc. zeigen (Argyris et al. 2010, S. 143 f.).

Viele Größen lassen sich nicht durch endlich viele Rechenschritte exakt berechnen, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit approximieren. Man spricht hier auch von Konvergenz. Eine Folge von Zahlen \( \left( {x_{n} } \right)_{{n \in {\mathbb{N}}}} \) konvergiert, wenn die Glieder der Folge, die x _n mit wachsendem Index n einem Grenzwert (Limes) anstreben. So strebt beispielsweise die Folge x _n = 1/n mit wachsendem n den Wert 0 an. Die ersten Folgenglieder dieser Folge lauten: 1, 1/2, 1/3, 1/4, Man schreibt: und spricht: Limes für n gegen unendlich - von (der Folge) 1 durch n - gleich 0.

Im Prinzip greift man mit der Vorstellung, dass die rationalen Zahlen dicht liegen, auf die Erkenntnis zurück, dass es eine umfassende Zahlenmenge gibt. Denn wir müssen uns fragen: In welcher Zahlenmenge liegen denn die rationalen Zahlen dicht? Die eigentlich korrekte Antwort müsste lauten: Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen, womit deutlich wird, dass sich jede reelle Zahl beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren lässt. Da der Begriff ‚reelle Zahlen‘ allerdings noch nicht näher motiviert wurde, sprechen wir hier vereinfacht von einem Zahlenstrahl, auf dem sich alle denkbaren Zahlen aneinander reihen und auf dem die rationalen Zahlen dicht liegen.

Dies ist natürlich kein mathematischer Beweis, den wir an dieser Stelle schuldig bleiben wollen. Im Übrigen kann man durch Ersetzen der Zahl 2 durch eine beliebige reelle Zahl a jede Wurzel aus a berechnen.

2-4 jährige Zyklen, deren Existenz nicht ganz unbestritten ist, nennt man Kitchin-Zyklen. Zyklen, die 5 bis 11 Jahre dauern können, heißen Juglar-Zyklen. Derartige Juglar-Zyklen werden i. A. als Konjunkturzyklen bezeichnet. Die langfristigen Zyklen von ca. 50 Jahren werden durch technologische Innovationen ausgelöst und sind nach Kondratieff benannt. Vgl. hierzu: Liening (1995, S. 246 f.).

Vgl. hierzu Abschn. 4.2.2.2.

Diese Definition von Seltsamen Attraktoren erfolgt in Anlehnung an Jetschke: Vgl. Jetschke (1989, S. 143). Ist mindestens ein Lyapunov-Exponent positiv, so liegt sensitive Abhängigkeit, d. h. ein Seltsamer Attraktor vor, vgl. hierzu auch Abschn. 4.5.

Solche und ähnliche Beispiele für Selbstähnlichkeit finden sich sehr ausführlich beschrieben in: Peitgen et al. (1994, S. 82 ff.).

Eine komplexe Zahl z lässt sich folgendermaßen definieren: z = x + i · y, mit x und y als reelle Zahlen (d. h. ganze Zahlen, Brüche oder irrationale Zahlen wie die Kreiszahl π etc.) sowie mit der ‚imaginären‘ Zahl i, für die gilt: i² = −1.

Vgl. hierzu die Ausführungen von: Peitgen et al. (1994, S. 149 f.).

‚Flächendeckend‘ soll hier heißen: Für das menschliche Auge flächendeckend.

Das Ansteigen des Folgenwertes ‚über alle Grenzen‘ lässt sich natürlich im Computer nicht bis ins Unendliche verfolgen. Es reicht jedoch aus, z. B. die Zahl 100 als Grenze zu nehmen und ferner maximal 20 Iterationsschritte zuzulassen. Wird die Grenze überschritten, bevor die maximale Zahl der Iterationsschritte erreicht wurde, dann gibt es in der Tat für die Folge kein Zurück, und es ist sichergestellt, dass sie für das gewählte c divergiert, d. h. dass dieses c damit zur Fluchtmenge gehört. Wird die Grenze aber nach der maximalen Iterationszahl nicht überschritten, gehört c zur Gefangenenmenge.

Die Idee der Berechnung des Kreisumfanges geht auf Archimedes zurück. Er hat zur Berechnung von \( \pi \) (Kreisumfang=2\( \pi \)r, r=Radius) ein- und umbeschriebene regelmäßige Vielecke benutzt. Man beginnt z. B. mit zwei Vielecken, die aus je sechs Seiten bestehen. Die beiden Vielecke nähern sich bei jeweiliger Halbierung ihrer Seitenlängen einander an. Durch entsprechende Umformungen der Seitenlängen erhält man so eine obere und eine untere Schranke für \( \pi \), die bei Zunahme der Halbierung der Seitenlängen immer exakter wird.

In der Mathematik, speziell der linearen Algebra, kennt man Dimensionen beliebiger Ordnung. Allgemein gilt: Ein Vektorraum heißt n-dimensional, wenn er aus n linear-unabhängigen Vektoren aufgespannt werden kann, d. h. wenn keiner der Vektoren von den anderen (miteinander kombiniert) dargestellt werden kann. Es lässt sich z. B. ein zweidimensionaler Raum (Fläche) von zwei senkrecht aufeinander stehenden Vektoren aufspannen, ein dreidimensionaler Raum von drei senkrecht aufeinander stehenden Vektoren, ein vierdimensionaler Raum von vier ‚senkrecht‘ aufeinander stehenden Vektoren aufspannen usw.

Es gibt in der Mathematik eine Vielzahl von Dimensionsbegriffen, wie etwa die Hausdorff-Dimension, die Euklidische Dimension, Box-Dimension etc. Der Begriff fraktale Dimension geht auf Mandelbrot zurück. Das Wort „fraktal“ geht auf das lateinische ‚frangere‘ zurück, was soviel wie ‚zerbrechen‘ bedeutet.

Lorenz bemerkt kritisch zum Kriterium der Dimension, dass der Nachweis einer fraktalen Dimension weder notwendig noch hinreichend sei. Denn es gebe Attraktoren mit fraktaler Dimension, die keineswegs ‚seltsam‘ seien und umgekehrt gebe es Seltsame Attraktoren, die nicht fraktal seien. Vgl. Lorenz (1988) oder auch: Grebogi (1984).

Sei \( p = \log_{2} (x){\text{ bzw}} .\;{ }x = 2^{{^{p} }} ,q = \log_{2} (y)\;{\text{bzw}} . {\text{ y}} = 2^{{^{q} }} \). Dann ist \( x \cdot y = 2^{{^{p} }} \cdot 2^{{^{q} }} = 2^{p + q} .\) somit ist \( \log_{2} (x \cdot y) = \log_{2} (2^{p + q} ) = p + q \) bzw. \( \log_{2} (x \cdot y) = \log_{2} (x) + \log_{2} (y) \). Aufgrund dieses Zusammenhangs funktioniert die Dimensionsberechnung auch zu jeder anderen Basis a. Bei manchen Autoren findet man daher auch den natürlichen Logarithmus ln in den Formeln. Vgl. Grassberger und Procaccia (1983) und Liening (1999).

Die Dimensionsformel für D wurde bereits 1932 von Pontrjagin und Schnieremann als Überdeckungsformel eingeführt und 1951 von Kolmogorov weiterentwickelt.

Sowohl Ruelle und Takens und später Newhouse haben diesen Nachweis erbracht, dass bereits nach zwei Instabilitäten ein Seltsamer Attraktor auftritt. Vgl. Ruelle (1971, S. 178 ff.) sowie Newhouse (1980, S. 35 ff.).

Die vorhergegangenen Grafiken zeigen, dass das System stets eine mehr oder weniger lange Einschwingphase benötigt, bevor es in einen Attraktor gezogen wird. Um diese Einschwingphasen bei derBifurkationsgrafik auszuschalten, werden vorsichtshalber die ersten 1500 Iterationen in der Grafik vernachlässigt. Die hohe Zahl der Iterationen, insgesamt 2500, gewährleistet, dass tatsächlich der Eindruck des Endzustandes des Systems dargestellt werden kann.

Die fortgesetzte Teilung in der Abbildung veranschaulicht, warum hier auf das lateinische Wort furca – Zweizinkengabel – zurückgegriffen wurde.

Eine Liste der ersten sieben Bifurkationspunkte findet man z. B. auch bei Peitgen et al. (1992b, S. 105).

Untersuchungen zeigen, dass die Feigenbaum-Konstante anscheinend auch für alle Familien von Abbildungen gilt, die zweimal stetig differenzierbar sind und eine Perioden verdoppelnde Bifurkation aufweisen. Vgl. Steeb und Kunik (1989, S. 19).

Eine interessante Darstellung von Intermittenz findet man z. B. in dem Kapitel „The intermittency transition to a chaotic attractor.“ in: Ott (1994, S. 272).

Für den Beweis dieser Formel sei auf den Aufsatz von Thien-Yien Li und James A. Yorke verwiesen: Li und Yorke (1975, S. 986 ff.).

Es sei an dieser Stelle nochmals auf das KAM-Theorem verwiesen, das Kolmogorow , Arnold und Moser in den sechziger Jahren aufgestellt und bewiesen haben, nach dem die Bewegung im Phasenraum der klassischen Mechanik weder vollkommen regulär noch vollkommen irregulär, die Trajektorie jedoch sensibel abhängig von den Anfangsbedingungen ist.

Positive Lyapunov-Exponenten werden in der Literatur i. d. R. als ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines chaotischen Systemverhaltens gewertet. Es gibt jedoch – wenngleich selten – nicht-chaotische Fälle, in denen der Lyapunov-Exponent ebenfalls positiv ist, so dass das Kriterium nicht einmal ein notwendiges ist: z’=z ist eine lineare Differenzialgleichung, die sicherlich nicht-chaotisch ist. Andererseits gilt offensichtlich: \( \left| {{\Delta z}\left( t \right)} \right| = \left| {\Delta z\left( 0 \right)} \right| \cdot e^{Lt} \), (L = 1), da die Ableitung der Exponentialfunktion wiederum die Exponentialfunktion ergibt. Das bedeutet, dass das System vollständig auseinanderdriftet und extrem abhängig von der Anfangssituation ist. Bei chaotischen Systemen muss daher zusätzlich der Phasenraum beschränkt sein, wenn man mittels des Lyapunov-Kriteriums Chaos nachweisen will.

Es sei darauf hingewiesen, dass hier nur eindimensionale Systeme, d. h. Systeme mit einer Variablen untersucht werden. Infolgedessen gibt es auch nur einen Lyapunov-Exponenten. In mehrdimensionalen Systemen ist die Zahl der Lyapunov-Exponenten entsprechend höher. Ist das Verhalten eines mehrdimensionalen Systems stabil und besitzt es einen Punktattraktor, dann sind alle Lyapunov-Exponenten negativ. Wenn ein periodisches Verhalten mit einem Grenzzykelattraktor vorliegt, sind alle bis auf einen Lyapunov-Exponenten negativ. Ein Lyapunov-Exponent ist gleich Null. In quasiperiodischen Systemen, die einen stabilen n-Torus aufweisen, sind n Lyapunov-Exponenten gleich 0, die anderen sind negativ. Bei irregulärem Verhalten und einem Seltsamen Attraktor gibt es in einem mehrdimensionalen System einen positiven Lyapunov-Exponenten. Ein weiterer Lyapunov-Exponent ist gleich Null und die restlichen Exponenten sind negativ (Loistl 1993, S. 63).

Die Konstruktion des Phasenraumes ist alles andere als trivial, insbesondere dann, wenn es sich um empirische Zeitreihen handelt, aus denen der Attraktor mit dem zugehörigem Phasenraum konstruiert werden soll. Im Empirieteil dieses Buches wird hierauf noch ausführlich eingegangen.

Allgemein gilt für die Taylor-Reihenentwicklung einer Funktion f um den Punkt a: \( f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty } {\frac{{f^{\left( k \right)} \left( a \right)}}{k!}} \cdot \left( {x - a} \right)^{k} \)

Eine kurze mathematische Einführung in dieses Thema findet man z. B. in: Zhang (1991).

Definition eines topologischen Raums: Sei X eine Menge. Ein System von Teilmengen T von X heißt Topologie auf X, wenn Folgendes gilt:Folgt man dieser Definition von Topologie, dann versteht man unter einem topologischen Raum ein Paar (X,T), das aus einer Menge X und einer Topologie T auf X besteht. Vgl. Forster (1981, S. 8).

Das Problem der Klassifikation von statischen Instabilitäten erläutert Haken in: Haken (1981, S. 145 ff.).

Ehrensberger weist darauf hin, dass es zum Begriff ‚Synergetik‘ eine Vielzahl von Begriffsvarianten und Synonyma gibt. Zu den Begriffsvarianten zählt er Synergieeffekt, Synergiepotenzial, synergetisches Potenzial, Synergismen sowie Synergiewirkung, wobei die synonyme Verwendung von Synergie und Synergieeffekt in der Literatur eine Tradition habe. Ehrensberger gibt zu bedenken, dass die Auseinandersetzung mit dem Thema Synergetik durch die nicht einheitliche und konsequente Verwendung des Begriffs erschwert wird. Vgl. Ehrensberger (1993, S. 13 ff.).

Erstmals hat der Verfasser sich damit in seiner Habilitationsschrift umfassend auseinandergesetzt (Liening 1999).

Der Begriff Synergetik ist dem griechischen Wort ‚\( \upsigma \upnu \upeta \upvarepsilon \uprho \upgamma \upvarepsilon \upiota \upeta \)‘ entlehnt, was soviel wie ‚zusammenwirken‘ bedeutet.

Es sei darauf aufmerksam gemacht, dass allerdings nicht jeder emergente Vorgang auch bereits schon ein Vorgang der Selbstorganisation sein muss.

Laser ist ein Kunstwort, dessen Buchstaben für: „Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation“, stehen. Der Begriff beschreibt damit also wörtlich eine Lichtverstärkung durch eine stimulierte Strahlungsemission.

Es gibt unterschiedliche Lasertypen wie Festkörperlaser (Rubinlaser), Flüssigkeitslaser, Freie-Elektronen-Laser oder eben den hier beschriebenen Gaslaser. Vgl. Kurnaz und Willemsen (2004).

Hier wird etwas unsauber Photon und Welle gleichgesetzt. Dahinter steht die allgemein akzeptierte Vorstellung, dass Licht sowohl Teilchen- als auch Wellencharakter besitzt. Der Physiker unter den Lesern mag dem Verfasser die laienhafte Beschreibung der physikalischen Abläufe im Laser verzeihen.

Haken weist in einem Vortrag zur Erläuterung des Symmetriebruches darauf hin, dass wir gebrochene Symmetrien auch in der Sprache vorfinden: „…zum Beispiel wenn wir das Wort Schloß sagen, kann dies ein Türschloß bedeuten, andererseits aber auch einen Herrensitz. Oder das Wort Hahn kann Wasserhahn oder Gockelhahn bedeuten. Ganz offensichtlich muß hier durch eine zusätzliche Information die Symmetrie gebrochen werden“ (Haken 1979). Das Wort ‚Schloss‘ beinhaltet also spiegelsymmetrisch zwei Entwicklungslinien, zwei Deutungen. Diese Entwicklung würde man als Gabelung normalerweise in Form eines sogenannten Bifurkationsdiagramms veranschaulichen. Dadurch, dass nur eine der beiden Deutungen im konkreten Fall zutrifft, wird die Symmetrie des Wortsystems gebrochen. An dieser Stelle sei auf das grundlegende Werk zur Synergetik hingewiesen (Haken 1981).

Haken betrachtet hier das sogenannte Lorenz-System, das einen seltsamen Attraktor ausweist. Vgl. Haken (1981, S. 342 ff.).

Es sei darauf hingewiesen, dass sich die Wissenschaftler nicht einig sind, ob die Theogonie tatsächlich Hesiod zugeschrieben werden kann. Vgl. hierzu: Sitzler (1984, S. 61 ff.).

Das Wort Chaos hängt mit dem Begriff ‚chasko‘ (gähnen) zusammen.

Bloom formuliert einen literarischen Kanon für das ‚aristokratische‘, das ‚demokratische‘ und das ‚chaotische Zeitalter‘, wobei er zu letzterem Autoren wie Franz Kafka, Marcel Proust, Sigmund Freud oder James Joyce zählt (Bloom 1994). Bloom begründet das neue Zeitalter nicht wissenschaftlich oder geschichtsphilosophisch, sondern, wie Zils schreibt, mit „dem Augenschein. Zwar gebe unser Jahrhundert vor, das demokratische Zeitalter fortzusetzen, aber die Untersuchung der führenden, also prägend-typische Autoren (… ) legt die Charakterisierung als ‚chaotisch‘ nahe“ (Zils 2009, S. 116).

Diese Meinung teilt auch Wesson. Vgl. Wesson (1995, S. 50).

Loistl und Betz analysieren die Definition von Chaos nach Li/Yorke, nach Devaney, Marotto und nach Diamond. Wir lassen bei unserer Betrachtung die Definition von Marotto und Diamond außen vor, weil die Erläuterung ihrer streng mathematischen Definitionen an dieser Stelle zu weit führen würde. Vgl. Loistl (1993, S. 37–49 passim).

Damit ein System komplexe Verhaltensmuster erzeugen kann muss es offen für Energien bzw. für Energiedurchfluss sein. Wenn z. B. bei der logistischen Gleichung der Kontrollparameter nicht extern verändert werden kann, kann die Dynamik auch nicht chaotisch werden, es sei denn, das System ist von Anfang an chaotisch. Zudem gilt es zu bedenken, dass ohne Energie von Außen der 2. Satz der Thermodynamik greifen würde, auf den wir bereits eingegangen sind.

Die Notwendigkeit von drei Systemvariablen zur Erzeugung von Komplexität lässt sich beispielsweise am Lorenz-Systems veranschaulichen, wobei die Grundlagen dieser Notwendigkeit bereits von Poincaré bei der Betrachtung von Drei-Körper-Systemen deutlich wurde. Drei Systemvariablen sind im stetigen Fall notwendig, damit gemischtes Feedback entstehen kann. Bei zwei Variablen, die sich gegenseitig beeinflussen, hätte man entweder einen Regelkreis (eine Variable wirkt positiv, eine negativ), oder einen Teufels-/Engelskreis (die Variablen verstärken sich selbst). In der Tat können jedoch bei diskreten Modellen/Systemen aber auch weniger Systemelemente vorhanden sein, wie das Beispiel der logistischen Gleichung (Verhulst-System) zeigt.

Dieser Aspekt der gebrochenen Dimension gilt natürlich nur im theoretischen Fall. In der Praxis wird man aufgrund der Berechnungsmethode sehr wahrscheinlich fast immer gebrochene Dimensionen ermitteln, unabhängig von deren Komplexitätsgrad.

Das iii. Kriterium ist ein hinreichendes, aber keineswegs notwendiges Kriterium: So heißt der Titel von Li/Yorkes grundlegendem Aufsatz: ‚Period three implies chaos‘, und nicht etwa ‚Chaos implies period three‘! (Li und Yorke 1975).

Diese Tatsache nimmt Brügge übrigens zum Anlass, um die Ergebnisse von Peitgen bezüglich seiner Ergebnisse des ‚Drei-Körper-Problems‘ (Vgl. hierzu die Ausführungen zu Poincaré in Abschn. 3.​2.​1 des ersten Teils der Arbeit) zu kritisieren. Er verweist auf ein Verfahren der Universität Karlsruhe, nachdem der eine Körper im Gegensatz zu den Berechnungen von Peitgen mit schöner Regelmäßigkeit die beiden anderen umkreist. Die Karlsruher haben jedoch einen ganz anderen Zeitabstand als Peitgen gewählt. Aber welches Zeitintervall das ‚Richtige‘ ist, kann auch das Karlsruher Verfahren nicht bestimmen. Vgl. Brügge (1993b, S. 238).

Da sich die Rechnerplattform sowie die verwendete Software auf die konkreten Ergebnisse auswirkt, sei an dieser Stelle bemerkt, dass die Berechnungen mit einer eigens hierfür entwickelten 32-bit Software erfolgten, die in C++ von Borland geschrieben und unter dem Betriebssystem Windows-XP auf einem Intel-Core-i7-Chip eingesetzt wurde.

Die Berechnungen auf hundert Stellen genau erfolgen mit einem Intel-Core-i7-Chip und dem mathematischen System MAPLE 15. Diese Software bietet integrierte symbolische, numerische und grafische Fazilitäten an.

Der exakte Wert der logistischen Gleichung für \( \lambda = 4 \) errechnet sich im Übrigen wie folgt: \( x(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (2^{t} \cdot \cos^{ - 1} (1 - 2 \cdot x(0))) \). Für x(0) = 0,01 ergibt sich damit für t = 2,00: x(t) = 0,6371765141. Die logistische Gleichung ist im Übrigen nur im Fall \( \lambda = 4.00 \) exakt lösbar. Vgl. hierzu: Steeb und Kunik (1989, S. 21).

Ungefähr bedeutet, dass die Wurzelfunktion als irrationale Funktion unendlich viele Kommastellen besitzt, deren jeweils nächste Stelle zwar berechenbar, nicht aber prognostizierbar ist. So beträgt der Wert von Wurzel aus 2 bei 100 Nachkommastellen etwa: 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641573.

Vgl. hierzu den Beweis von Otto Forster: Forster (2004, S. 54f.).

Das Schatten-Lemma lässt sich beispielsweise anhand der Analyse der Sägezahnfunktion beweisen, bei der x(t+1) = Frac(2 x(t)) ist. Frac ist eine Funktion, die den nicht-ganzzahligen Rest einer Zahl berechnet. Einen solchen anschaulichen Beweis findet man bei: Peitgen, Jürgens et al. (1994, S. 122 ff.). Die Schatten-Eigenschaft für Zeltfunktionen (z. B. x(t+1) = 2x(t) für 0<x(t)<0,5 und x(t+1) = 1-2 x(t) für 0,5 \( \le \) x(t)<1,0) findet man ausführlich erläutert bei: Coven et al. (1988).

Der Begriff ‚durchschnittlich‘ ist hier in Anführungszeichen gesetzt, da es auf den ersten Blick nicht offensichtlich ist, dass auch tatsächlich eine Gleichverteilung vorliegt.

Der ausführlichen Beweis des Satzes von Bolzano-Weiterstraß befindet sich in Abschn. 4.5.3.7.

Einen Überblick über verschiedene Wissenschaftler und Arbeiten, die bereits in den neunzehnhundertneunziger Jahren auf dem Gebiet des ‚controlling chaos‘ geforscht haben, findet man in: Ott (1994, S. 148).

Vgl. hierzu evtl. noch einmal die konkreten Erläuterungen zur logistischen Funktion in Abschn. 3.​4.​5 im ersten Teil des Buches.

Eine ausführliche Beschreibung des für die Stabilisierung hinreichenden mathematischen Verfahrens findet man in dem Kapitel ‚Controlling Chaos‘ bei Ott (1994, S. 145–149). Ott beschreibt hier das Verfahren für eine Abbildung der Dimension zwei und betrachtet dabei einen instabilen Fixpunkt. Er weist darauf hin, dass die Übertragung der Überlegungen auf höherperiodische Fälle ‚straightforward‘ erfolge.

Im ersten Teil des Buches hatten wir diese Problematik bereits behandelt und das Beispiel eines Kippbildes (alte Frau – junge Frau) betrachtet.

Dieser Zusammenhang zwischen Rechengenauigkeit und chaotischen Systemen wurde in Abschn. 4.5.2 ausführlich begründet.

So stellt sich z. B. auch Goodwin in der Einleitung seines Buches ‚Chaotic Economic Dynamics‘ die Frage: „Why is economic like the weather“ und beantwortet sie sogleich mit den Worten: „because both are highly irregular if not chaotic, thus making prediction unreliable or even impossible“ (Goodwin 1992, S. 1).

Vgl. hierzu auch die Aussagen von David Ruelle: Ruelle (1993, S. 88).