Unbegrenzt teilbare Verteilungen

Die Normalverteilung mit Erwartungswert μ

2

und Varianz σ

2

lässt sich für jedes natürliche

n

als

n

-te Faltungspotenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes schreiben (nämlich der Normalverteilung mit Erwartungswert

$$\mu_n^{*n}$$

und Varianz

$$\frac{\sigma^2}{n}$$

. Die selbe Eigenschaft, die wir unbegrenzte Teilbarkeit nennen, hat die Poisson-Verteilung. Im ersten Abschnitt untersuchen wir, welche Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen unbegrenzt teilbar sind und geben eine erschöpfende Beschreibung der Klasse dieser Maße durch die Lévy-Khinchin Formel.

Die Normalverteilung hat (im Gegensatz zur Poisson-Verteilung) die Eigenschaft, dass sie als Grenzwert reskalierter Summen von unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen auftritt (Zentraler Grenzwertsatz). Im zweiten Abschnitt untersuchen wir knapp die Teilklasse unbegrenzt teilbarer Maße auf den reellen Zahlen, die diese Eigenschaft haben.