Unimodale und positiv definite Dichten

Frontmatter

Kapitel 0. Positiv definite und unimodale Dichten in stochastischen Modellen

Zusammenfassung

Wertet man Messungen aus, so begegnet man immer wieder der Frage, welche Verteilungsfunktion F dem Datenmaterial zugrunde liegt. Manchmal gestattet es der zentrale Grenzwertsatz zu vermuten, daß eine Normalverteilung vorliegt. In den meisten Fällen kann man jedoch nicht sofort auf einen bestimmten Verteilungstyp schließen. Deshalb versucht man, F wenigstens einer bestimmten Klasse von Verteilungsfunktionen zuzuordnen. Geeignete Klassen von Verteilungen zu untersuchen, ist daher eine Aufgabe von ständiger Aktualität.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 1. Unimodale Verteilungen

Zusammenfassung

Wir stellen in diesem Abschnitt die wichtigsten Eigenschaften von konvexen und konkaven Funktionen zusammen. Dazu führen wir zunächst den Begriff einer konvexen Menge ein.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 2. Charakteristische Funktionen

Zusammenfassung

Wir wenden uns nun dem zweiten Grundbegriff dieses Buches zu und führen dazu zunächst positiv definite Funktionen ein.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 3. Positiv definite Dichten

Zusammenfassung

Wir betrachten eine Dichte p, die bis auf einen Faktor mit dem Realteil einer gewissen c. F.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 4. Realteil-Dichten

Zusammenfassung

Bisher haben wir pos. def. Dichten untersucht; sie stimmen bis auf einen Faktor mit einer c. F. überein. Fordern wir diese Eigenschaft jedoch nur auf der positiven Halbachse, so geht die pos. Definitheit verloren. Das ist der Grund, warum wir die nun zu betrachtenden Dichten etwas anders einführen.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 5. Imaginärteil-Dichten

Zusammenfassung

Wir betrachten Funktionen f _c und f _s , die bis auf einen Faktor mit ihrer eigenen Kosinustransformation bzw.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 6. Selbstadjungierte Dichten

Zusammenfassung

Wir studieren in diesem Abschnitt selbstadjungierte Re- und Im-Dichten (vgl. Definiton 5.1.4). Damit erfassen wir zugleich selbstadjungierte pos. def. Dichten, und zwar aus folgendem Grund.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 7. Auftreten von positiv definiten Dichten, Re-Dichten und Im-Dichten

Zusammenfassung

In vielen Anwendungen treten Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von unabhängigen Zufallsgrößen X und Y auf. Wir haben im Kapitel 0 bereits Beispiele dazu angegeben. Deshalb untersuchen wir folgende Probleme: Unter welchen Bedingungen haben solche Funktio­nen von X und Y eine pos. def. Dichte (Re-Dichte, Im-Dichte), wenn z. B. X eine pos. def. Dichte (Re-Dichte, Im-Dichte) besitzt.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 8. Charakterisierungen von Verteilungen

Zusammenfassung

Wir zeigen in diesem Abschnitt, wie Re- und Im-Dichten dazu verwen­det werden können, Verteilungen zu charakterisieren. Unsere Untersu­chungen betreffen

• die in Null gestutzte Normalverteilung (Φ_o),
• die Rayleigh-Verteilung (G_o),
• die Exponentialverteilung (E _xp (1)),
• Mischungen von Exponentialverteilungen (E _F ).

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 9. Unschärferelationen

Zusammenfassung

In vielen Fällen benötigen wir nicht die gesamte Verteilung einer Zufallsgröße, sondern nur gewisse Kenngrößen, z. B. Erwartungswert und Varianz. Wir befassen uns daher zunächst mit allgemeinen Beziehungen zwischen Momenten. Für pos. def. Dichten, Re- und Im-Dichten lassen sie sich zum Teil verschärfen.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Kapitel 10. Anwendungen

Zusammenfassung

Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, daß die von uns untersuchten Dichten sehr häufig zu Vf. vom Typ IFR gehören (vgl. § 8.2) und deshalb als Dichten von Lebensdauerverteilungen eine Bedeutung haben. Weiter stellen wir dar, wie sich gewisse Voraussetzungen über die Ausfallrate (vgl. § 8.1) einer Vf.

Gabriele Laue, Manfred Riedel, Hans-Joachim Roßberg

Backmatter