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Erschienen in:

2019 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Variationsrechnung und analytische Mechanik

verfasst von : Michael Riemer, Wolfgang Seemann, Jörg Wauer, Walter Wedig

Erschienen in: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Lernziele

Das vorliegende Kapitel präsentiert eine Einführung in die Variationsrechnung mit der Betrachtung von Extremalaufgaben, den Eulerschen Gleichungen sowie der Einarbeitung von Nebenbedingungen und die wesentlichen Anwendungen in der analytischen Mechanik mit den Begriffen virtuelle Verrückung, (virtuelle) Arbeit sowie Potenzial, dem Prinzip der virtuellen Arbeit sowie dem Prinzip von Hamilton. Zur Herleitung von Anfangs-Randwert-Problemen schwingender Kontinua, aber auch dem Verständnis für später etablierte ausgewählte Näherungsverfahren sind diese mathematischen Grundlagen ganz wesentlich. Der Leser ist nach Durcharbeiten dieses Kapitels in der Lage, Extremaleigenschaften von Funktionalen zu verstehen und für die Auswertung skalarer Variationsprinzipe als grundlegende Postulate der Technischen Mechanik und darüber hinaus zu nutzen.

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Diese Extrema sind Gegenstand der sog. Linearen bzw. Nichtlinearen Programmierung, nicht aber der klassischen Variationsrechnung.

Der Zeitparameter steht exemplarisch für eine beliebige unabhängig Veränderliche des jeweiligen Problems, z. B. auch für eine Ortskoordinate $x$ in einem rein statischen Problem.

(4.8) gilt stets für alle unabhängig Veränderlichen. Bei Problemen mit mehreren unabhängig Veränderlichen, z. B. einer Ortskoordinate $x$ und der Zeit $t$, ist während der Variation sowohl der Ort $x$ als auch die Zeit $t$ festzuhalten; zusätzlich zu (4.8) gilt dann auch $\delta x\equiv 0$.

Eine Variation der Form (4.13) wird in der Funktionalanalysis als Fréchet-Differenzial bezeichnet.

Dass die Extremale $q(t)$ tatsächlich das Funktional (4.31) minimiert, kann in diesem Fall einfach über die (hinreichende) Legendresche Bedingung $\frac{\partial^{2}L}{(\partial\dot{q})^{2}}> 0$ verifiziert werden (s. z. B. [1]). Man erhält hier $\frac{\partial^{2}L}{(\partial\dot{q})^{2}}=\frac{\partial^{2}}{(\partial\dot{q})^{2}}[{1\over{2}}{\dot{q}}^{2}-q^{2}]=\frac{\partial}{\partial\dot{q}}[\dot{q}]=1> 0$ für alle Zeiten $t$; das ist hinreichend für ein Minimum.

Ursprünglich waren „generalisierte“ Koordinaten nur verallgemeinerte Koordinaten in dem Sinne, dass auch nicht–kartesische Koordinaten (also beliebige Lage- und Winkelkoordinaten) zugelassen waren. Diese Unterscheidung ist heute nicht mehr von Bedeutung. Da aber im Zusammenhang mit derart verallgemeinerten $n$ Koordinaten fast ausschließlich nur Systeme mit $n$„echten“ Freiheitsgraden untersucht wurden, ist es sinnvoll, fortan den Begriff generalisierte Koordinaten nur noch für beliebige, voneinander unabhängige Koordinaten zu verwenden. Man spricht auch von Minimalkoordinaten.

Die $n$ Bewegungsgleichungen (4.36) hängen i. Allg. voneinander ab (sie bewirken eine dynamische Kopplung der generalisierten Koordinaten $q_{i}$) – nicht abhängig sind aber die $n$ generalisierten Koordinaten $q_{i}$ selbst (es existiert keine kinematische Kopplung).

Im Gegensatz zu nichtholonomen Bindungen, deren Bindungsgleichungen stets Koordinatenableitungen enthalten.

Allgemeine räumliche Drehungen haben die bekannte Eigenschaft, dass Zeitableitungen der Drehwinkel (z. B. $\dot{\varphi}^{1},\dot{\varphi}^{2},\dot{\varphi}^{3}$) i. Allg. nicht mit den Koordinaten der Winkelgeschwindigkeit (z. B. $\omega^{1},\omega^{2},\omega^{3}$) übereinstimmen. Deshalb sind auch die Variationen der Drehwinkel (z. B. $\delta\varphi^{1},\delta\varphi^{2},\delta\varphi^{3}$) nicht die Koordinaten des virtuellen Drehvektors $\overrightarrow{\varphi}_{\text{virt}}$ (also gilt dann z. B. $\varphi_{\text{virt}}^{2}\neq\delta\varphi^{2}$).

Am Körper, an dem die Kraft angreift, wirkt sie entgegen der Federauslenkung.

Genau deshalb ist es zweckmäßig, die virtuelle Arbeit allgemeiner Kräfte oder Momente nicht mit $\delta W$, sondern mit $W_{\text{virt}}$zu bezeichnen.

Lässt man diese Annahme fallen und berücksichtigt zudem die Drehträgheit der Stabquerschnitte, so gelangt man zum Stabmodell nach Timoshenko (s. Beispiel 3.27).

Die auftretenden Ortsableitungen sind jedoch dann im Gesamtzusammenhang partielle Ableitungen, so dass verabredungsgemäß (s. Kap. 3) beispielsweise an Stelle von $u^{\prime}$ nunmehr $u_{,x}$ zu schreiben ist.

Die zweite Cauchy-Gleichung – der Drehimpulssatz für ein Kontinuum – reduziert sich in der Mechanik der Punktkontinua (jeder materielle Punkt hat nur drei Translations-, aber keine Rotationsfreiheitsgrade) auf die Forderung nach einem symmetrischen Spannungstensor (s. ebenfalls Abschn. 2.4.3); diese Forderung ist in der Elastomechanik durch das verallgemeinerte Hookesche Gesetz (4.104) [bzw. (2.165)] als Stoffgesetz stets identisch erfüllt.

So bezeichnet man üblicherweise Stäbe, die ausschließlich Biegeschwingungen ausführen.

Im Rahmen einer vollständig linearen Theorie, wie sie ausführlich auch in Abschn. 2.3.3 und 2.4.3 angesprochen wird, fallen Cauchyscher Spannungstensor (der eigentlich einer räumlichen Feldbeschreibung zugehört) und Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor 2. Art zusammen.

Für viskoelastische und plastische Körper beispielsweise ist ab hier eine modifizierte Vorgehensweise erforderlich.

Im Rahmen einer (geometrisch) linearen Theorie reduziert sich der Lagrangesche Verzerrungstensor in (4.103) auf den infinitesimalen Greenschen Verzerrungstensor gemäß (2.159).

Präzisierend gegenüber (2.159) ff. in Kap. 2 wird ein Körper homogen genannt, wenn seine Materialeigenschaften nicht von der Lagrange-Koordinate $x^{k}$, d. h. in der Referenzplatzierung nicht vom Ort abhängen. Er ist (in Übereinstimmung mit der damaligen Formulierung) elastisch isotrop, wenn seine elastischen Eigenschaften richtungsunabhängig sind.

Sowohl historisch als auch axiomatisch sollten beide Prinzipe unterschieden werden, insbesondere im Rahmen der Kontinuumsmechanik.

In der Mechanik elastischer Körper sind meist nur materielle Koordinaten (Lagrange-Koordinaten) $x^{k}$ zweckmäßige Koordinaten. Deshalb müssen im Rahmen der Elastodynamik die totalen $\dot{(\;)}$ und die partiellen Zeitableitungen $(\;)_{,t}$ von Funktionen mit der Argumentliste $(x^{k},t)$ nicht unterschieden werden. Infolge (4.119) sind beides materielle Zeitableitungen. Anders ist es in der Strömungsmechanik; dort rechnet man in Euler-Koordinaten, dann haben die totale und die partielle Zeitableitung verschiedene physikalische Bedeutung.

Insbesondere im Rahmen der Strömungslehre, d. h. bei der Rechnung in Euler-Koordinaten, werden nur räumliche Formulierungen des Reynoldsschen Transporttheorems verwendet; diese sind komplizierter als die doch einfachen Vertauschungsrelationen (4.122).

Bei Näherungsrechnungen kann es vorkommen, dass durch die gewählten Ansatzfunktionen die „Zeitrandbedingung“ (4.130) nicht mehr erfüllt ist; dann muss anstelle von (4.131) die allgemeinere Formulierung (4.129) des Prinzips von Hamilton verwendet werden. Einfachstes Beispiel dafür ist sicherlich die Berechnung einer genäherten Eigenkreisfrequenz $\bar{\omega}_{0}$ eines Oszillators mit dem Lösungsansatz $x(t)=X_{0}\cos\bar{\omega}_{0}t$. Nur über das Prinzip (4.129) berechnet man die korrekte (in diesem Fall sogar strenge) Lösung $\bar{\omega}_{0}=\omega_{0}$; Ursache für das Versagen von (4.131) ist die Verletzung der „Zeitrandbedingung“ (4.130) wegen $\delta x=\delta X_{0}\cos{\bar{\omega}_{0}}t\enspace\rightarrow\enspace\delta x\neq 0$ für $t=t_{1},t_{2}$ (in Worten: Hier gilt $\delta x\neq 0$ für allgemeine Zeiten $t_{1},t_{2}$.)

Die Distributionsformulierung lautet für das hier untersuchte Beispiel einfach

$$\displaystyle(EAu_{,x})_{,x}-\mu u_{,tt}=F(t)\delta(x-\ell),\quad u(x=0,t)=0,\;\;u_{,x}(\ell,t)=0.$$

Die Ableitungen von $u$ nach $x$ sind dann allerdings im Distributionssinne, d. h. als Derivierte (hier im Ort) aufzufassen. Dann ist jede Lösung des mechanischen Problems (4.157)–(4.159) auch eine Lösung des Randwertproblems in Distributionsformulierung.

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Titel: Variationsrechnung und analytische Mechanik
verfasst von: Michael Riemer
Wolfgang Seemann
Jörg Wauer
Walter Wedig
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
Buch: Mathematische Methoden der Technischen Mechanik
Print ISBN: 978-3-658-25612-8

Electronic ISBN: 978-3-658-25613-5

Copyright-Jahr: 2019
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-25613-5_4

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