Mathematische Methoden der Technischen Mechanik

Formulierung und Umgang mit linearen Gleichungen in kompakter Matrizenschreibweise sind für Ingenieure wichtiges Basiswissen. Der Nutzer soll deshalb im Rahmen des vorliegenden Kapitels zum einen lernen, die Matrizenrechnung mit der zugrunde liegenden Matrizenalgebra zu verstehen. Andererseits soll er aber auch ausgewählte Matrizenmethoden, wie Übertragungsmatrizenverfahren oder Matrixverschiebungsmethode und schließlich die Grundlagen von Finite-Element-Methoden auf unterschiedliche Fragestellungen, wie sie Absolventen eines Ingenieur- oder Technomathematikstudiums aber auch praktisch arbeitenden Forschungs- und Entwicklungsingenieuren begegnen, anwenden können. Nach Durcharbeiten des vorliegenden Kapitels ist er mit diesem wesentlichen Werkzeug der Mathematik vertraut.

Die Tensorrechnung ist bei der Entwicklung neuer Materialmodelle, zur Beschreibung (geometrisch) komplizierter Flächentragwerke, aber auch in der Strömungslehre ein bedeutsames mathematisches Hilfsmittel. Eine Darstellung von Grundbegriffen, wie indizierte Größen und Summationskonvention, einer Vektoralgebra zur Einführung in die allgemeine Tensoralgebra für Tensoren zweiter und höherer Stufe sowie der Vektor- und Tensoranalysis mit Funktionen skalarwertiger Parameter und einer Theorie der Felder ist heute wichtig, um einer modernen Einführung bereits in die lineare Elastizitätstheorie als Anwendung zu folgen. Der Nutzer soll nach Durcharbeiten des Inhaltes des vorliegenden Kapitels in der Lage sein, alle aktuellen Aufgaben der Tensoralgebra und -analysis mit ihren Anwendungen zu verstehen und durchzuführen.

Die Lösung linearer Differenzialgleichungen – einschließlich Anfangs- und Randbedingungen – ist die mathematische Kernaufgabe in den Ingenieurwissenschaften. Sowohl gewöhnliche Einzel-Differenzialgleichungen, Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen (in Matrizenschreibweise) als auch partielle Differenzialgleichungen sind wichtig. Für das Verständnis modellhafter Einschaltfunktionen in Regelungstechnik und Systemdynamik ist heute auch eine ingenieurmäßige Einführung in die Distributionstheorie geboten. Der Nutzer lernt Erscheinungsformen kennen und und ist nach Durcharbeiten dieses Kapitels mit der Behandlung homogener, aber auch inhomogener Differenzialgleichungen und der Anpassung an Anfangs- sowie Randbedingungen vertraut. Mit den Grundlagen der Distributionstheorie lernt er, auch die Sprung- und Impulsantwort dynamischer Systeme fundiert zu berechnen.

Das vorliegende Kapitel präsentiert eine Einführung in die Variationsrechnung mit der Betrachtung von Extremalaufgaben, den Eulerschen Gleichungen sowie der Einarbeitung von Nebenbedingungen und die wesentlichen Anwendungen in der analytischen Mechanik mit den Begriffen virtuelle Verrückung, (virtuelle) Arbeit sowie Potenzial, dem Prinzip der virtuellen Arbeit sowie dem Prinzip von Hamilton. Zur Herleitung von Anfangs-Randwert-Problemen schwingender Kontinua, aber auch dem Verständnis für später etablierte ausgewählte Näherungsverfahren sind diese mathematischen Grundlagen ganz wesentlich. Der Leser ist nach Durcharbeiten dieses Kapitels in der Lage, Extremaleigenschaften von Funktionalen zu verstehen und für die Auswertung skalarer Variationsprinzipe als grundlegende Postulate der Technischen Mechanik und darüber hinaus zu nutzen.

Die physikalische Realisierbarkeit der Lösungen von Differenzialgleichungen ist heute in den Ingenieurwissenschaften oft von zentraler Bedeutung. Sie wird durch Methoden der Stabilitätstheorie entschieden. Dabei kommt der kinetischen Stabilitätstheorie mit der ersten und der direkten Methode von Ljapunow die Hauptbedeutung zu, Stabilitätsmethoden der Elastostatik mit der Gleichgewichts- und der Energiemethode haben jedoch durchaus eigenständiges Gewicht, so dass beide Gebiete gelehrt und verstanden werden sollten. Der Nutzer sollte lernen, wann und wie er die Stabilitätsmethoden der Elastostatik verwenden kann und in welchen Fällen er den Stabilitätsnachweis im Rahmen der kinetischen Stabilitätstheorie zu führen hat und welche mathematischen Schritte dann relevant sind.

Häufig sind bei praktischen Fragestellungen des Ingenieurwesens strenge Lösungen des formulierten mathematischen Modells nicht mehr möglich, so dass im Rahmen der Lösungstheorie Näherungsverfahren herangezogen werden müssen. Von der breiten Vielfalt sollen hier einige ausgewählte Verfahren angesprochen werden, die zum einen grundlegend sind und zum anderen auch ohne Rechnerunterstützung, die hier generell nicht angesprochen wird, verstanden und in den Grundzügen ausgeführt werden können. Der Nutzer hat nach Durcharbeiten des vorliegenden Kapitels gelernt, was die (reguläre) Störungsrechnung in seiner Anwendung auf algebraische und transzendente Gleichungen, auf Anfangs- und auf Randwertprobleme bedeutet, und ist vertraut mit dem Galerkin-Verfahren als wichtigster Sonderfall von Verfahren gewichteter Residuen und dem Ritz-Verfahren, dem Hauptvertreter von Näherungsverfahren der direkten Variationsrechnung. Nachdem er die beiden letztgenannten Verfahren kennengelernt und verstanden hat, ist der Weg frei zu FE-Methoden unterschiedlicher Ausprägung, die heute den Markt kommerzieller Programmpakete beherrschen, aber allesamt auf jenen aufsetzen. Um die Einschränkungen beim Lösen von Anfangswertproblemen zu überwinden, sind numerische Integrationsmethoden zwingend. Deshalb wird ergänzend ein kurzer Überblick über derartige Verfahren gegeben, bevor abschließend auch der Umgang mit Formelmanipulationsprogrammen angesprochen wird, die beispielsweise die Störungsrechnung wesentlich vereinfachen können.